Экономикс (стр. 8 из 9)

ем потребления ниже, скажем, на 20 дол. Заметьте, что связь между этими переменными остается прямой, но линия просто сместилась, чтобы отразить меньший объем потребительских расходов при каждом уровне дохода.

Точно так же и на посещаемость баскетбольных матчей может повлиять много других факторов, кроме цены билетов. Например, если бы правительство решило отменить программу предоставления студентам ссуд, численность обучающихся в университете сократилась бы, а отсюда и посещаемость баскетбольных матчей также снизилась бы при любой цене на билеты. Вам необходимо перечертить рисунок 2, исходя из предположения, что баскетбольные матчи посещает на 2 тыс. меньше студентов при каждой цене на билеты. Вопрос 2 в конце настоящего приложения вводит другие переменные, которые могут вызвать сдвиг линии, показывающей связь между ценой на билеты и посещаемостью матчей.

НАКЛОН ЛИНИИ

Линии можно характеризовать по крутизне их наклона. Наклон прямой линии между двумя точками определяется как отношение вертикального ее изменения (повышения или снижения) к горизонтальному ее изменению (разность абсцисс), обусловленное передвижением между точками. Например, перемещаясь от точки В к точке С на рисунке 1, мы обнаруживаем, что повышение, или вертикальное изменение (изменение объема потребления), составляет + 50 дол., а разность абсцисс, или горизонтальное изменение (изменение размера дохода), составляет + 100 дол. Отсюда:

Обратите внимание на то, что наш наклон в 1/2 является положительным, так как потребление и доход изменяются в одном и том же направлении, то есть между потреблением и доходом существует прямая, или положительная, связь.

О чем свидетельствует этот наклон в 1/2? Он показывает нам, что каждый прирост дохода в 2 дол. сопровождается увеличением потребления на 1 дол. Равным образом он показывает, что каждое снижение дохода на 2 дол. приводит к сокращению потребления на 1 дол.

Что показывает нам этот наклон в —5/+4, или —1 1/4? Он подразумевает, что снижение цены билета на 5 дол. увеличивает число посетителей на 4 тыс.

В примере с ценами на билеты и посещаемостью баскетбольных матчей связь отрицательная, или обратная, вследствие чего и наклон линии на рисунке 2 является отрицательным. Здесь вертикальное изменение, или снижение цены билета, составляет 5, а горизонтальное изменение, или разность абсцисс, составляет 4. Отсюда:

человек. Иначе говоря, он означает, что снижение цены билета на 1 дол. увеличивает посещаемость на 800 человек.

Для нахождения положения прямой на графике необходимо кроме ее наклона знать точку ее переселения с осью ординат.

На рисунке 1 эта точка находится на уровне 50 дол. Это означает, что, если текущий доход каким-то образом принимает нулевое значение, потребители все равно расходуют 50 дол. Каким образом им удается осуществлять такой расход на потребление, если у них нет никакого текущего дохода? Ответ: путем получения займа или продажи части своих активов. Точно так же точка пересечения с осью ординат на рисунке 2 показывает нам, что при цене билета на баскетбольный матч 25 дол. баскетбольные команды стали бы играть при пустых трибунах стадиона.

Имея уже представление о точке пересечения с осью ординат и о наклоне, мы теперь можем четко изобразить нашу линию потребления в форме уравнения. В общем линейное уравнение выглядит так: y=a+bx, где y— зависимая переменная, a— вертикальное пересечение, b— наклон линии, а x — независимая переменная. В нашем примере с комбинацией "доход — потребление", если допустить, что Cпредставляет потребление (зависимую переменную) и Yпредставляет доход (независимую переменную), уравнение может принять следующий вид: C=a+bY. Заменяя величины точки вертикального переселения и наклона нашими конкретными данными, получаем: C=50+0,5Y. Это уравнение позволяет нам определить объем потребления при любом уровне дохода. Например, при уровне дохода в 300 дол. (точка Dна рисунке 1) наше уравнение предсказывает, что объем потребления составит 200 дол. [= 50 дол. + (0,5 х 300 дол.)]. Вам следует доказать, что при доходе в 250 дол. объем потребления будет равен 150 дол.

Когда экономисты меняют принятый математиками порядок размещения на графике независимых и зависимых переменных и помещают первые на вертикальной оси, а вторые на горизонтальной, получается, что в известном смысле обычное линейное уравнение решается относительно независимой переменной, а не зависимой. Выше мы отмечали, что этот случай подходит для наших данных о ценах на билеты и о посещаемости баскетбольных матчей. Если мы предположим, что P представляет цену билета, аA— посещаемость, наше уравнение примет следующий вид: P= 25 — 1,25A, где вертикальное пересечение оказывается в точке 25, а отрицательный наклон равен —1—1/4, или —1,25. Однако знание величины Pпозволяет нам решить проблему величины A, которая фактически является зависимой переменной. Например, если P= 15, тогда в нашем уравнении окажутся следующие величины: 15 = 25 —1,25(A), или 1,25A = 10, или A= 8. Вам необходимо проверить этот ответ на примере рисунка 2, а также использовать это уравнение, чтобы предсказать, сколько будет продано билетов при цене 7,5 дол.

Рисунок 2. Графическое изображение обратно пропорциональной зависимости между ценами на билет и числом посетителей матчей

Два ряда величин, в данном случае цены на билеты и посещаемость баскетбольных матчей, изображают на графике в виде нисходящей прямой. Наклон этой прямой составляет —1 1/4.

НАКЛОН НЕЛИНЕЙНОЙ КРИВОЙ

Теперь перейдем из простого мира линейных связей (прямых линий) в несколько более сложный мир нелинейных связей (кривых), когда наклон кривой изменяется по мере продвижения от одной точки на кривой к другой. Например, рассмотрим восходящую кривую AAна рисунке 3(а). Несмотря на то что ее наклон положителен на всем ее протяжении, мы видим, что он уменьшается, или выравнивается, по мере продвижения по кривой вверх и вправо (в северо-восточном направлении). Поскольку наклон постоянно меняется, мы можем его измерить лишь в какой-то отдельной точке на кривой.

Как это делается? Мы начинаем с проведения прямой линии, которая касается кривой в той точке, где мы хотим измерить ее наклон. По определению, прямая является касательной к кривой в данной точке, если она соприкасается с нею, но не пересекает ее. Тех, прямая aa— это касательная кривой AAв точке Pна рисунке 3(а). Проведя указанную прямую, мы можем измерить наклон кривой AAв точке P, просто измерив наклон прямой линии касания aa. В данном случае на рисунке 3(а) мы видим, что, когда вертикальное изменение (разность ординат) aaсоставляет +10, горизонтальное изменение (разность абсцисс) также равно +10. Таким образом, наклон касательной aaсоставляет 10/10, или +1, и следовательно, наклон кривой AAв точке P также составляет +1.

Теперь рассмотрим нисходящую кривую BBна рисунке 3(6). В данном случае мы видим, что наклон BBотрицателен и что он уменьшается, или вырав-

нивается, по мере продвижения кривой вниз и вправо (в юго-восточном направлении). Каков наклон в точке P? Снова проводим линию bb, которая касается кривой BBв точке P. В данном случае мы видим, что, когда вертикальное изменение (снижение) на ее равно —10, горизонтальное изменение составляет лишь +5. Таким образом, наклон кривой +BBв точке Pравняется -10/+5 или —2. Сюда относится вопрос 6 в конце данного приложения.

между вертикальным изменением и горизонтальным изменением, складывающееся по мере передвижения между любыми двумя точками. Наклон восходящей линии является положительным, а нисходящей ливни — отрицательным.

7. Точка пересечения с осью ординат (абсцисс) и наклон линии устанавливают положение прямой и используются для изображения связи между двумя переменными в форме уравнения.

8. Наклон кривой в любой точке определяется измерением наклона прямой в месте касании ее с этой точкой.

Рисунок 3. Определение наклона кривых

Наклон кривой изменяется по мере продвижения по ней от одной точки к другой. Наклон в любой точке можно определить проведением прямой, касающейся кривой в соответствующей точке, и измерением наклона этой прямой.

РЕЗЮМЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Графики служат удобным и информативным способом иллюстрации экономических зависимостей или принципов.

2. Между двумя переменными существует положительная, или прямая, зависимость, когда их величины изменяются в одном и том же направлении, изображаются на графике в виде восходящей линии.

3. Между двумя переменными существует отрицательная, или обратная, зависимость, когда их величины изменяются в противоположных направлениях. Эти переменные изображаются на графике в виде нисходящей линии.

4.Величина зависимой переменной ("следствия") определяется величиной независимой переменной ("причиной").