α = ½ * ∑|Fp – Fd|,
где Fp – частости,
xi * Fp
Fd = ,
∑(xi * Fpi)
α = ½ * 0,3482 = 0,1741.
Коэффициент Джинни рассчитывается по формуле:
G = 1 – 2 * ∑(Fp * Cum Fd) + ∑(Fp * Fd),
где Fd – накопленные (кумулятивные) значения показателя,
G = 1 – 2 * 0,5348 + 0,3032 = 0,2336.
Значения коэффициентов, близких к нулю, означает равномерность распределения населения по доходам.
6. Рассчитаем средний уровень преступности по районам и в целом по РФ.
1) Средний уровень преступности по районам найдем по формуле средней арифметической простой:
Северный район:
_ ∑xi 9920
х = = = 1984 (прест.)
n 5
Северо-Западный район:
_ ∑xi 8569
х = = = 2142 (прест.)
n 4
Центральный район:
_ ∑xi 20944
х = = = 1611 (прест.)
n 13
Волго-Вятский район:
_ ∑xi 8095
х = = = 1619 (прест.)
n 5
Центрально-Черноземный район:
_ ∑xi 6943
х = = = 1388 (прест.)
n 5
Поволжский район:
_ ∑xi 11345
х = = = 1418 (прест.)
n 8
Северо-Кавказский район:
_ ∑xi 10768
х = = = 1196 (прест.)
n 9
Уральский район:
_ ∑xi 13719
х = = = 1959 (прест.)
n 7
Западно-Сибирский район:
_ ∑xi 14757
х = = = 2108 (прест.)
n 7
Восточно-Сибирский район:
_ ∑xi 13529
х = = = 2254 (прест.)
n 6
2) Средний уровень преступности по РФ найдем по формуле средней арифметической простой:
_ ∑xi 118589
х = = = 1719 (прест.)
n 69
7. С помощью парных коэффициентов корреляции оценим взаимосвязь между признаками. Основной характеристикой наличия корреляционной связи является линейный коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле:
ХУ – Х * У
r = .
σ Х * σ У
Для расчета линейного коэффициента корреляции составим расчетную таблицу (см. таблицу 6).
_ ∑Уi 17682
У = = = 1768,2;
n 10
_ ∑Х1 20159
Х1 = = =2015,9;
n 10
_ ∑Х2 12181,10
Х2 = = = 1218,11;
n 10
_ ∑Х1У 35843985,00
Х1У = = = 3584398,50;
n 10
_ ∑Х2У 22048812,72
Х2У = = = 2204881,27;
n 10
_ ∑Х1Х2 24899421,74
Х1Х2 = = = 2489942,17.
n 10
Найдем среднеквадратические отклонения:
∑(У – У)2 1216339,60
σ у = = = 367,63;
n – 1 9
Таблица 6
Расчетная таблица
| № | У | Х1 | Х2 | Х1У | Х2У | Х1Х2 | У - У | (У - У) | Х1 - Х1 | (Х1 - Х1) | Х2 - Х2 | (Х2 - Х2) |
| 1 | 1984 | 2082 | 1727,68 | 4130688,00 | 3427717,12 | 3597029,76 | 215,8 | 46569,64 | 66,1 | 4369,21 | 509,57 | 259661,59 |
| 2 | 2142 | 1977 | 1260,65 | 4234734,00 | 2700312,30 | 2492305,05 | 373,8 | 139726,44 | -38,9 | 1513,21 | 42,54 | 1809,65 |
| 3 | 1611 | 2281 | 1470,87 | 3674691,00 | 2369571,57 | 3355054,47 | -157,2 | 24711,84 | 265,1 | 70278,01 | 252,76 | 63887,62 |
| 4 | 1619 | 1675 | 859,62 | 2711825,00 | 1391724,78 | 1439863,50 | -149,2 | 22260,64 | -340,9 | 116212,81 | -358,49 | 128515,08 |
| 5 | 1389 | 1569 | 1080,68 | 2179341,00 | 1501064,52 | 1695586,92 | -379,2 | 143792,64 | -446,9 | 199719,61 | -137,43 | 18887,01 |
| 6 | 1418 | 2111 | 1071,16 | 2993398,00 | 1518904,88 | 2261218,76 | -350,2 | 122640,04 | 95,1 | 9044,01 | -146,95 | 21594,30 |
| 7 | 1196 | 1879 | 864,63 | 2247284,00 | 1034097,48 | 1624639,77 | -572,2 | 327412,84 | -136,9 | 18741,61 | -353,48 | 124948,11 |
| 8 | 1960 | 2915 | 1197,55 | 5713400,00 | 2347198,00 | 3490858,25 | 191,8 | 36787,24 | 899,1 | 808380,81 | -20,56 | 422,71 |
| 9 | 2108 | 2158 | 1453,09 | 4549064,00 | 3063113,72 | 3135768,22 | 339,8 | 115464,04 | 142,1 | 20192,41 | 234,98 | 55215,60 |
| 10 | 2255 | 1512 | 1195,17 | 3409560,00 | 2695108,35 | 1807097,04 | 486,8 | 236974,24 | -503,9 | 253915,21 | -22,94 | 526,24 |
| ∑ | 17682 | 20159 | 12181,10 | 35843985,00 | 22048812,72 | 24899421,74 | 0 | 1216339,60 | 0 | 1502366,90 | 0 | 675467,91 |
∑( Х1 – Х1)2 1502366,90
σ Х1 = = = 408,57;
n – 1 9
∑( Х2 – Х2)2 675467,91
σ Х2 = = = 273,96.
n – 1 9
Парные коэффициенты корреляции:
Х1У - Х1 * У 3584398,50 - 2015,9 * 1768,2 19884,12
rХ1У = = = = 0,13,
σ Х1 * σ У 408,57 * 367,63 150202,59
сл - но, связь между численностью населения и числом зарегистрированных преступлений практически отсутствует;
Х2У – Х2 * У 2204881,27 - 1218,11 * 1768,2 51019,17
rХ2У = = = = 0,51,
σ Х2 * σ У 273,96 * 367,63 100715,92
сл - но, связь между среднедушевым доходом населения и числом зарегистрированных преступлений прямая и средняя, т.е. с увеличением среднедушевого дохода увеличивается число зарегистрированных преступлений;
Х1Х2 - Х1 * Х2 2489942,17 - 2015,9 * 1218,11 34354,22
rХ1Х2 = = = = 0,31,
σ Х1 * σ Х2 408,57 * 273,96 111931,84
сл - но, связь между среднедушевым доходом населения и численностью населения прямая и слабая, т.е. с увеличением среднедушевого дохода увеличивается численность населения.
Коэффициенты детерминации:
η = rХ1У2 = 0,132 = 0,02,
т.е. число зарегистрированных преступлений на 2% зависит от численности населения;
η = rХ2У 2 = 0,512 = 0,26,
т.е. число зарегистрированных преступлений на 26% зависит от среднедуше-вого дохода;
η = rХ1Х2 2 = 0,312 = 0,10,
т.е. среднедушевой доход на 10% зависит от численности населения.
Частные коэффициенты корреляции:
rХ1У - rХ2У * rХ1Х2 0,13 - 0,51 * 0,31 (-0,0281)
rУ,Х1 = = = =
(1 – r 2Х1Х2) * (1 – r 2Х2У) (1 – 0,312) * (1 – 0,512) (1 – 0,0961) * (1 – 0,2601)
(-0,0281) (-0,0281)
= = = -0,03;
0,9039 * 0,7399 0,81780
rХ2У - rХ1У * rХ1Х2 0,51 - 0,13 * 0,31 0,4697
rХ2,У = = = =
(1 – r 2Х1Х2) * (1 – r 2Х1У) (1 - 0,312) * (1 – 0,132) (1 – 0,0961) * (1 – 0,0169)
0,4697 0,4697
= = = 0,50.
0,9039 * 0,9831 0,94267
Если сравнить значения парных и частных значений корреляции, то можно увидеть, что в совокупности многих факторов влияние факторов Х1 и Х2 составляет приблизительно -3% и 50% на изменение результативного показателя.
8. Построим двухфакторную модель, т.е. уравнение множественной регрессии уровня преступности от двух факторов: численности населения и среднедушевого дохода:
у = а0 + а1 * х1 + а2 * х2,
rХ1У - rХ1Х2 * rХ2У σ у
где а1 = * ,
1 – r 2Х1Х2 σ Х1
rХ2У - rХ1Х2 * rХ1У σ у
а2 = * ,
1 – r 2Х1Х2 σ Х2
а0 = у - а1 * х1 - а2 * х2
Рассчитаем параметры уравнения регрессии:
0,13 - 0,31 * 0,51 367,63 (-0,0281)
а1 = * = * 0,8998 = -0,03,
1 - 0,312 408,57 0,9039
0,51 - 0,31 * 0,13 367,63 0,4697
а2 = * = * 1,3419 = 0,70,
1 - 0,312 273,96 0,9039
а0 = 1768,2 – (-0,03) * 2015,9 – 0,70 * 1218,11 = 1768,2 + 60,477 – 852,677 =
= 976,
у = 976 – 0,03 * х1 + 0,7 * х2.
Коэффициенты а1 = -0,03 и а2 = 0,7 показывают, что при изменении численности населения (Х1) на 100 тыс. человек число зарегистрированных преступлений уменьшится на 3 преступления, при увеличении среднедуше-вого дохода населения на 1 рубль число зарегистрированных преступлений увеличивается на 0,7 преступления.
9. Рассчитаем коэффициенты эластичности. Сделаем выводы.
Х1 2015,9
Э1 = а1 * = (-0,03) * = -0,03,
У 1768,2
Х2 1218,11
Э2 = а2 * = 0,70 * = 0,48,
У 1768,2
т.е. при увеличении численности населения на 1%, число зарегистрированных преступлений уменьшится на 0,03% (при постоянном среднедушевом доходе населения); при увеличении среднедушевого дохода населения на 1%, число зарегистрированных преступлений увеличится на 0,48% (при постоян-ном уровне численности населения).
β – коэффициенты:
σХ1 408,57
β1 = а1 * = (-0,03) * = -0,03,
σУ 367,63
σХ2 273,96
β2 = а2 * = 0,70 * = 0,52,
σУ 367,63
показывают влияние вариации (изменение) факторных признаков на изменение результативного признака; при сравнении β – коэффициентов видно, что признак Х2, т.е. среднедушевой доход населения, более сильно влияет на изменение числа зарегистрированных преступлений, чем признак Х1 (это же показывают коэффициенты эластичности).