Шпаргалка по Исследованию операций в экономике (стр. 4 из 5)
Составим по графу уравнения Колмогорова:
Если поток с конечным числом состояний:
Система уравнений Колмогорова для процесса гибели и размножения с ограниченным числом состояний имеет вид:
Процессом чистого размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков гибели равны нулю.
Процессом чистой гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю.
16. Системы массового обслуживания с отказами.
Наиболее простой из рассматриваемых задач в рамках теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами или потерями.
Следует отметить, что в данном случае количество каналов равно 1
(). Этот канал принимает пуассоновский поток заявок, интенсивность которого равняется 
. Время оказывает влияние на интенсивность: 
Если заявка прибыла в канал, который в данный момент не является свободным, она получает отказ и больше не числится в системе. Обслуживание заявок осуществляется в течение случайного времени
, распределение которого реализуется в соответствии с показательным законом с параметром 
: 
17. Системы массового обслуживания с ожиданием.
Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом m, т. е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, она покидает систему необслуженной. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.
Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):
—канал свободен; 
—канал занят, очереди нет; 
— канал занят, одна заявка стоит в очереди; 
—канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди; 
— канал занят, т заявок стоят в очереди. 
18. Методы принятия решений в условиях конфликта. Матричные игры. Чистые и смешанные стратегии игр.
Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.
Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.
Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.
Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i=), 2 – свою j-ю стратегию (j=), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij<0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму | аij|). На этом игра заканчивается.
Каждая стратегия игрока i=; j = часто называется чистой стратегией.
Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.
Таким образом, если игрок 1 имеет m чистых стратегий 1,2,...,m, то его смешанная стратегия x– это набор чисел x = (x1,..., xm) удовлетворяющих соотношениям
xi³ 0 (i= 1,m),
=1.Аналогично для игрока 2, который имеет n чистых стратегий, смешанная стратегия y– это набор чисел
y = (y1, ..., yn), yj ³ 0, (j = 1,n),
= 1.Так как каждый раз применение игроком одной чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместными событиями. Кроме того, они являются единственными возможными событиями.
Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока.
19. Геометрический метод решения матричной игры.
Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Такие игры можно решать графически.
На плоскости XY по оси абсцисс отложим единичный отрезок A1A2 (рисунок 5.1). Каждой точке отрезка поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию U = (u1, u2). Причем расстояние от некоторой промежуточной точки U до правого конца этого отрезка – это вероятность u1 выбора стратегии A1, расстояние до левого конца - вероятность u2 выбора стратегии A2. Точка А1 соответствует чистой стратегии А1, точка А2 – чистой стратегии А2.
В точках А1 и А2 восстановим перпендикуляры и будем откладывать на них выигрыши игроков. На первом перпендикуляре (совпадающем с осью OY) покажем выигрыш игрока А при использовании стратегии А1, на втором – при использовании стратегии A2. Если игрок А применяет стратегию A1, то его выигрыш при стратегии B1 игрока B равен 2, а при стратегии B2 он равен 5. Числам 2 и 5 на оси OY соответствуют точки B1 и B2. Аналогично на втором перпендикуляре найдем точки B'1 и B'2 (выигрыши 6 и 4).
Соединяя между собой точки B1 и B'1, B2 и B'2, получим две прямые, расстояние от которых до оси OX определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий.
Например, расстояние от любой точки отрезка B1B'1 до оси OX определяет средний выигрыш игрока A при любом сочетании стратегий A1 и A2 (с вероятностями u1 и u2) и стратегии B1 игрока B.
Ординаты точек, принадлежащих ломаной B1MB'2 определяют минимальный выигрыш игрока A при использовании им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является наибольшей в точке М, следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия U* = (, ), а ее ордината равна цене игры v.
Координаты точки M найдем, как координаты точки пересечения прямых B1B'1 и B2B'2.
Для этого необходимо знать уравнения прямых. Составить такие уравнения можно, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки:
Составим уравнения прямых для нашей задачи.
Прямая B1B'1:
= 
или y = 4x + 2.Прямая B2B'2:
= 
или y = -x + 5.Получим систему: y = 4x + 2,
y = -x + 5.
Решим ее: 4x + 2 = -x + 5,
5x = 3,
x = 3/5, y = -3/5 + 5 = 22/5.
Таким образом, U = (2/5, 3/5), v = 22/5.
20. Биматричные игры.
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)
Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.
21. Статистические игры. Принципы и критерии принятия решений в условиях полной и частичной неопределенности.
В исследовании операций принято различать три типа неопределенностей :
неопределенность целей;
неопределенность наших знаний об окружающей обстановке и действующих в данном явлении факторах (неопределенность природы);
неопределенность действий активного или пассивного партнера или противника.
В приведенной выше классификации тип неопределенностей рассматривается с позиций того или иного элемента математической модели. Так, например, неопределенность целей отражается при постановке задачи на выборе либо отдельных критериев, либо всего вектора полезного эффекта.