Производственная функция фирмы (стр. 3 из 9)
для которых задача нахождения параметров сводится к оцениванию линейной формы путем перехода к логарифмам.
В предположении о дифференцируемости производственной функции в каждой точке множества X возможных комбинаций затрачиваемых ресурсов полезно рассмотреть некоторые связанные с производственной функцией величины.
В частности, дифференциал
представляет собой изменение стоимости выпускаемой продукции при переходе от затрат набора ресурсов x=(x1 , ..., xN) к набору x+dx=(x1+dx1,..., xN +dxN) при условии сохранения свойства эффективности соответствующих технологических способов. Тогда величину частной производной
можно трактовать как предельную (дифференциальную) ресурсоотдачу или, иными словами, коэффициент предельной продуктивности, который показывает, на сколько увеличится выпуск продукции в связи с увеличением затрат ресурса с номером j на малую единицу. Величина предельной продуктивности ресурса допускает истолкование как верхний предел цены pj , которую производственный объект может уплатить за дополнительную единицу j -того ресурса с тем, чтобы не оказаться в убытках после ее приобретения и использования. В самом деле, ожидаемый прирост продукции в этом случае составит
и, следовательно, соотношение
позволит получить дополнительную прибыль.
В коротком периоде, когда один ресурс рассматривается как постоянный, а другой как переменный, большинство производственных функций обладают свойством убывающего предельного продукта. Предельным продуктом переменного ресурса называют прирост общего продукта в связи с увеличением применения данного переменного ресурса на единицу.
Предельный продукт труда можно записать как разность
MPL = F ( K , L + 1) - F ( K , L ),
где MPL предельный продукт труда.
Предельный продукт капитала можно также записать как разность
MPK = F ( K + 1, L ) - F ( K , L ),
где MPK предельный продукт капитала.
Характеристикой производственного объекта является также величина средней ресурсоотдачи (продуктивности производственного фактора)
имеющего ясный экономический смысл количества выпускаемой продукции в расчете на единицу используемого ресурса (производственного фактора). Величина, обратная к ресурсоотдаче
обычно называется ресурсоемкостью, поскольку она выражает количество ресурса j , необходимое для производства одной единицы продукции в стоимостном выражении. Весьма употребительны и понятны такие термины, как фондоемкость, материалоемкость, энергоемкость, трудоемкость, рост которых обычно связывают с ухудшением состояния экономики, а их снижение рассматривается как благоприятный результат.
Частное от деления дифференциальной продуктивности на среднюю
называется коэффициентом эластичности продукции по производственному фактору j и дает выражение относительного прироста продукции (в процентах) при относительном приросте затрат фактора на 1%. Если Ej
0, то происходит абсолютное снижение выпуска продукции при увеличении потребления фактора j; такая ситуация может иметь место при использовании технологически неподходящих продуктов или режимов. Например, излишнее потребление топлива приведет к излишнему повышению температуры и необходимая для производства продукта химическая реакция не пойдет. Если 0 < Ej 1, то каждая последующая дополнительная единица затрачиваемого ресурса вызывает меньший дополнительный прирост продукции, чем предыдущая.Если Ej > 1, то величина приростной (дифференциальной) продуктивности превосходит среднюю продуктивность. Таким образом, дополнительная единица ресурса увеличивает не только объем выпускаемой продукции, но и среднюю характеристику ресурсоотдачи. Так процесс повышения фондоотдачи происходит, когда вводятся в действие весьма прогрессивные, эффективные машины и приборы. Для линейной производственной функции коэффициент aj численно равен величине дифференциальной продуктивности j-того фактора, а для степенной функции показатель степени aj имеет смысл коэффициента эластичности по j-тому ресурсу.
2. ВИДЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ.
2.1. Производственная функция Кобба-Дугласа.
Первый успешный опыт построения производственной функции, как уравнения регрессии на базе статистических данных, был получен американскими учеными - математиком Д. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 году. Предложенная ими функция изначально имела вид:
(1)где Y - объем выпуска, K - величина производственных фондов (капитал), L - затраты труда,
- числовые параметры (масштабное число и показатель эластичности). Благодаря своей простоте и рациональности, эта функция широко применяется до сих пор, и получила дальнейшие обобщения в различных направлениях. Функцию Кобба-Дугласа иногда мы будем записывать в виде 
Легко проверить, что
и 
Кроме того, функция (1) линейно-однородна:
Таким образом, функция Кобба-Дугласа (1) обладает всеми вышеуказанными свойствами.
Для многофакторного производства функция Кобба-Дугласа имеет вид:
Для учета технического прогресса в функцию Кобба-Дугласа вводят специальный множитель (технического прогресса)
, где t - параметр времени, 
- постоянное число, характеризующее темп развития. В результате функция принимает "динамический" вид: 
где не обязательно
. Как будет показано в следующем параграфе, показатели степени в функции (1) имеют смысл эластичности выпуска по капиталу и труду.2.2. Производственная функция CES(с постоянной эластичностью замещения)
Имеет вид:
(2)Где
- коэффициент шкалы, 
- коэффициент распределения, 
- коэффициент замещения, 
- степень однородности. Если выполнены условия: 
то функция (2) удовлетворяет неравенствам
и 
. С учетом технического прогресса функция CES записывается: 
Название данной функции следует из того факта, что для нее эластичность замещения постоянна.
2.3. Производственная функция с фиксированными пропорциями. Эта функция получается из (2) при
и имеет вид: 
} (3)2.4. Производственная функция затрат-выпуска (функция Леонтьева) получается из (3) при
: 
Содержательно эта функция задает пропорцию, с помощью которой определяется количество затрат каждого вида, необходимое для производства одной единицы выпускаемой продукции. Поэтому в литературе часто встречаются другие формы записи: