Методы обнаружение гетероскедастичности (стр. 3 из 4)

Квантиль t–распределения Стьюдента с 23 степенями свободы находим из таблицы:

Для γ = 1%,

= 2,807

Для γ = 5%,

= 2,069

Доверительный интервал для 1% уровня значимости:

42,787 < α < 65,132

0,332 < β < 0,449

Доверительный интервал для 5% уровня значимости:

45,724 < α < 62,195

0,347 < β < 0,434

2. Для построения степенной модели вида необходимо привести ее к линейному виду с помощью следующего преобразования с использованием логарифмической функции:

. Производя замены Y = lgy, X = lgx, A = lgα и B = β получим уравнение , которое является уже линейным уравнением и его можно решить по аналогии с примером 1.

Вычислим параметры линейной регрессии:

Для этого найдем:

Среднее значение X:

Среднее значение Y:

Ковариацию X и Y:

Вариацию X:

Вариацию Y:

Тогда,

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

в логарифмах

Для дальнейшего анализа степенной функции необходимо выполнить обратное преобразование, то есть потенцирование полученного уравнения регрессии:

Определим:

TSS– полная сумма квадратов:

RSS – остаточная сумма квадратов:

ESS – оцененная модель суммы квадратов:

Вычислим коэффициент корреляции и коэффициент детерминации:

Критерием правильности решения задачи является:

0,96 = 0,96

Найдем среднюю ошибку аппроксимации:

Определим доверительный интервал для параметров α и β:

Квантиль t–распределения Стьюдента с 23 степенями свободы находим из таблицы:

Для γ = 1%,

= 2,807

Для γ = 5%,

= 2,069

Доверительный интервал для 1% уровня значимости:

-22,669 < α < 24,158

-18,812 < β < 20,031

Доверительный интервал для 5% уровня значимости:

-16,513 < α < 18,002

-13,706 < β < 14,925

3. Для построения гиперболической модели вида

необходимо привести ее к линейному виду с помощью преобразования . Производя замены Y = y, X = , A = α и B = β получим уравнение , которое является уже линейным уравнением и его можно решить по аналогии с примером 2.

Определяем параметры линейной регрессии:

Для этого найдем:

Среднее значение X:

Среднее значение Y:

Ковариацию X и Y:

Вариацию X:

Вариацию Y:

Тогда,

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Для дальнейшего анализа гиперболической функции необходимо выполнить обратное преобразование, то есть:

Определим:

TSS – полная сумма квадратов:

RSS – остаточная сумма квадратов:

ESS – оцененная модель суммы квадратов:

Вычислим коэффициент корреляции и коэффициент детерминации:

Критерием правильности решения задачи является:

0,96 = 0,96

Найдем среднюю ошибку аппроксимации:

Определим доверительный интервал для параметров α и β:

Квантиль t–распределения Стьюдента с 23 степенями свободы находим из таблицы:

Для γ = 1%,

= 2,807

Для γ = 5%,

= 2,069

Доверительный интервал для 1% уровня значимости:

203,307 < α < 230,686

-12854,8 < β < -10042

Доверительный интервал для 5% уровня значимости:

206,906 < α < 227,087

-12485,1 < β < -10411,8

При определении средней ошибки аппроксимации, я получила, что у линейной функции

= 9,4%, у степенной функции = 6,2%, у гиперболической функции = 5,2%. Отсюда видно, что наименьшая средняя ошибка аппроксимации равняется = 5,2% у гиперболической функции, следовательно наилучшей моделью будет гиперболическая функция.

Тест ранговой корреляции Спирмена.

При проверке полученной модели на возможную гетероскедастичность данных воспользуемся тестом ранговой корреляции Спирмена. Значения

и ранжируются (упорядочиваются по величинам). Определяем коэффициент ранговой корреляции:

где

— разность между рангами значений и ( ); а определяется по формуле .

Коэффициент ранговой корреляции имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией . Тогда соответствующая тестовая статистика равна: