По отношению к опционному рынку физическим рынком считается любой рынок, где происходит купля-продажа актива, лежащего в основе опциона. Поэтому в данному случае физическим рынком может быть как обычный рынок купли-продажи, например ценных бумаг (фондовый рынок), так и фьючерсный рынок, если в основе опциона лежит фьючерсный контракт. В последнем случае рынок опционов есть уже не вторая «надстройка» над физическим рынком, а третья, его третий «этаж».
Стоимость опциона складывается из двух частей: внутренней стоимости опциона и временной стоимости.
Внутренняя стоимость опциона есть разница между рыночной ценой актива на физическом рынке и ценой исполнения опциона. Если вторая больше или равна первой, то внутренняя стоимость опциона равна нулю. Опцион, который имеет внутреннюю стоимость, называется «при деньгах», если он не имеет – «без денег». Опцион, цена исполнения которого близка к рыночной цене, называется «за деньги».
Временная стоимость опциона тем больше, чем длиннее срок его существования, поскольку с увеличением времени риск увеличивается. Временная стоимость опциона с одним и тем же месяцем исполнения тем больше, чем ближе его цена исполнения к цене на физическом рынке, ибо в этом случае равновероятно, что последняя может повышаться или снизиться по отношению к цене исполнения. Временная стоимость опциона падает тем быстрее, чем ближе наступление срока его исполнения. Таким образом, для покупателя опциона с каждым днем приближения к дате окончания срока его действия стоимость опциона снижается за счет его временной составляющей, в то же время ситуация для продавца опциона становится все благоприятнее, так как опцион дешевеет и он, продав его первоначально за одну цену, с приближением окончания срока его действия может выгодно его выкупить, но уже по более низкой цене и тем самым получить спекулятивную прибыль.
Степень возможного изменения, или размах колебаний цены актива, лежащего в основе опциона, увеличивает риск для продавца опциона, который за это, естественно, требует увеличение премии. Если колебание цены актива снижается, то и премии, то и премии по опционам на покупку или продажу тоже уменьшаются. В нормальных условиях торговцы опционами прогнозируют степень колебания актива на основе того, какой она была у него в прошлом.
Влияние изменения процентной ставки на стоимость опциона не имеет однозначного направления. Если речь идет об опционе на покупку, то увеличение процентной ставки обычно является фактором увеличения премии, а для опциона на продажу – фактором уменьшения премии.
Наиболее общей формулой для расчета стоимости опциона-колл является знаменитая формула Блэка-Шоулза для расчета стоимости опциона-колл, которая была разработана в 1973 г. американскими профессорами Фишером Блэком и Майроном Шоулзом. Эта формула позволяет рассчитать теоретическую премию опциона-колл в случаях, когда цена актива в будущем может иметь множество значений (боде, чем два) и часть из них может быть ниже цены исполнения опциона, т.е. опцион может оканчиваться «без денег». В употребляемых нами символах она имеет такой вид:
Ск = Ца · N(d1) – Ци : (1 + П)т · N(d2), (3.7)
где – Ск – стоимость опциона-колл на данный момент времени;
Ца – текущая цена актива;
Ци – цена исполнения опциона;
П – безрисковая процентная ставка;
Т – временной интервал;
N(d1) и N(d2) – вероятности, определяемые по таблице значений ряда нормального распределения вероятностей.
d1 = [LП (Ца : Ци) + (П + 0,5 · σ2) х Т] : [σ · νТ], (3.8)
d2 = d1- σ νТ, (3.9)
где – σ – средний уровень колебания цены актива, лежащего в основе опциона, за промежуток времени Т;
LП (Ца : Ци) – натуральный логарифм частного отделения текущей цены актива на цену исполнения опциона.
Например. Рассчитаем по формуле Блэка-Шоулза стоимость (теоретическую премию) опциона-колл, т.е. опциона на покупку одной акции какой-то компании при следующих условиях: Ца = 100 руб., Ци = 115 руб., П = 1% в месяц, Т = 9 мес., σ = 5% в месяц.
Сначала определим d1 d2:
d1 = [LП (Ца : Ци) + (П + 0,5 · σ2) х Т] : [σ · νТ];
= [Lп (0,8696) + (0,01 + 0,5 · 0,052) · 9] : [0,05 · 3]
= [ – 0,13973 + 0,10125] : 0,15
= – 0,26;
d2 = d1 – σ · νТ
= – 0?26 – 0?05 · 3
= – 0,41
Теперь по таблице нормального распределения находим вероятности:
N(d1) = 0,3974,
N(d2) = 0,3409/
Наконец, можно подставить все значения необходимых показателей в формулу стоимости опциона:
Ск = Ца · N(d1) – Ци : (1 + П)т · N(d2)
= 100 руб. · 0,3974 – 115 руб. : 1,019 · 0,3409
= 39,74 руб. – 35,84 руб.
=3,9 руб.
Казалось бы, что стоимость опциона 3,9 руб. – это сравнительно небольшая сумма по отношению к цене акции в приведенном примере. Однако не надо забывать, что согласно принятым условиям цена акции может увеличиваться на 15 руб., т.е. на 15%, при месячном колебании в 5%, пока опцион не станет опционом «при деньгах». До тех пор пока цена акции не превысит 115 руб., покупатель колла не будет его исполнять, а значит, ему нет смысла платить высокую премию за опцион.
Этот пример хорошо иллюстрирует, что теоретическая премия опциона-колл будет значительно выше, если текущая цена акции превысила бы цену исполнения опциона. Например, если бы Ца равнялась 120 руб., то стоимость опциона составила бы:
Ск = 120 руб. · 0,3474 – 115 руб. : 1,019 · 0,3409
= 47,69 руб. – 35,84 руб.
= 11,85 руб.
т.е. премия увеличилась бы почти в 3 раза при росте рыночной цены акции в 1,2 раза. Экономически это объясняется тем, что вероятность того, что опцион был бы при деньгах, и при том будущая рыночная цена существенно превысила бы цену исполнения опциона, очень высока. А поэтому продавец опциона-колл за свой риск требовал бы более высокой премии.
В целом влияние всех пяти факторов на опционную премию в зависимости от вида опциона приведено в табл. (3.2).
Таблица 3.2.
| Ценностной фактор | Премия по: | |
| опциону на покупку (колл) | опциону на продажу (пут) | |
| 1. Увеличение текущей цены актива, лежащего в основе опциона | увеличивается | уменьшается |
| 2.Увеличение цены исполнения опциона | уменьшается | увеличивается |
| 3.Удлинение времени до исполнения опциона | увеличивается | увеличивается |
| 4. Увеличение размера безрисковой процентной ставки | увеличивается | уменьшается |
| 5. Увеличение колебания цены актива | увеличивается | увеличивается |
В табл. 3.2. показано влияние всех пяти ценообразующих премию опциона факторов для американского типа опциона. Для европейского типа опциона перечисленные факторы действуют аналогично, кроме фактора времени. Его влияние не имеет четкой закономерности и для любого вида опциона, будь то колл или пут, увеличение срока действия опциона может оказывать как положительное, так и отрицательное воздействие на опционную премию.
Из всех пяти факторов, влияющих на стоимость опциона, самый сложный, а в определенных ситуациях и главный – это изменчивость, колебание цены исходного актива. Фактический уровень колебания цены актива можно рассчитать для каждого текущего момента времени путем подстановки в формулы (3.8) – (3.9) фактических численных значений премий, цены актива, цены исполнения и процентной ставки. Полученные значения показателя колебания за прошедшие периоды позволяют прогнозировать их на будущее.
Теперь покажем, как можно вывести формулу теоретической цены опциона пут, задав ситуацию, при которой покупка акции сегодня и ее продажа через определенный срок в будущем не принесут инвестору ни прибыли, ни убытка.
Пусть инвестор сегодня хочет купить акцию по цене Ца. Для этого он берет часть денег в размере Х в ссуду, а остаток средств получает в виде разницы в ценах премий опционов-колл и –пут с одинаковыми датами и ценами исполнения, по которым он сможет продать свою акцию в будущем. Например, продает колл и получает премию Ск и одновременно покупает пут и платит премию Сп. При этом, естественно, должно хватить средств на покупку акции.
Ск – Сп = Ца – Х, (3.10)
Пусть срок исполнения опционов 1 год, а цена исполнения – Ци. Через год инвестор должен продать по опциону свою акцию, вернуть ссуду с процентами, т.е. исполнить обязательства по опционам и вернуть ссуду с процентами.
Если рыночная цена акции Ца1 будет меньше цены исполнения опционов Ци, то опцион-колл не будет исполнен, так как покупателю колла, проданного нашим инвестором, невыгодно покупать акцию по цене исполнения, которая выше, чем на рынке. В то же время инвестору выгодно исполнить опцион пут, т.е. продать свою акцию по цене исполнения, которая выше, чем рыночная цена. Следовательно, чтобы вернуть ссуду с процентами на покупку акции, взятую год назад, инвестор должен в данный момент продать эту акцию по опциону-пут по цене, которая равнялась бы размеру ссуды с процентами, или: