Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе (стр. 5 из 29)

Таким образом,

, т.е.

Значит,

– чистая цена игры при стратегиях А₂ и B₁. Следовательно, имеем игру с седловой точкой.

Пример 2.2. Определим максиминную и минимаксную стратегии при заданной матрице эффективности (табл. 2.3).

Решение. Определим максиминную стратегию:

; ;

Максиминная стратегия - строка А₂.

Таблица 2.3

Определим минимаксную стратегию:

Минимаксная стратегия - столбец В₂. Здесь

, следовательно, седловой точки нет.

Если матрица игры содержит элемент, минимальный в своей строке и максимальный в своем столбце, то он, как уже сказано выше, является седловой точкой. В этом случае мы имеем игру с седловой точкой.

Пусть в игре с седловой точкой один игрок придерживается седловой точки, тогда другой получит лучший результат, если также будет придерживаться этой точки. Лучшее поведение игрока не должно повлечь уменьшение его выигрыша. Зато худшее поведение может привести к этому. В данном случае решением игры являются:

• чистая стратегия игрока 1;

• чистая стратегия игрока 2;

• седловой элемент.

Оптимальные чистые стратегии — это чистые стратегии, образующие седловую точку.

В игре без седловой точки, если игрок 1 информирован о стратегии, принятой игроком 2, он сможет принять оптимальную стратегию, которая не совпадает с максиминной.

Пример 2.3. Дана матрица игры

Допустим, игроку 1 стало известно, что игрок 2 принял минимаксную стратегию. Игрок 1 должен выбрать оптимальную стратегию при условии, что B₂ – стратегия игрока 2 (

= 5).

Решение. Определим максиминную стратегию игрока 1:

Стратегия игрока 1 – А₂ - максиминная.

Выберем оптимальную стратегию для игрока 1. Ею будет не максиминная А₂, дающая игроку 1 выигрыш

= 4, а та стратегия, которая соответствует . В этом случае его максимальный гарантированный выигрыш будет равен верхней цене игры , поэтому он выберет свою оптимальную стратегию А₁, зная, что игрок 2 выбрал свою стратегию В₂. Таким образом, рассмотренный пример дает результат, отличный от результата при игре с седловой точкой.

Стратегия является оптимальной, если ее применение обеспечит игроку наибольший гарантированный выигрыш при любых возможных стратегиях другого игрока.

На примере 2.3 показано, что бывают ситуации, когда игрок 1 может получить выигрыш, превосходящий максиминный, если ему известны намерения игрока 2.

При многократном повторении игры в сходных условиях можно добиться гарантированного среднего выигрыша, превосходящего для игрока 1 максиминный.

2.2. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ

Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры. В примере 2.3 игрок 1 получил по своей оптимальной стратегии А₁, отличной от максиминной, выигрыш, равный верхней цене игры. Такова плата за информированность о стратегии игрока 2. Это крайний случай. Не улучшится ли результат игрока 1, если информация о действиях противной стороны будет отсутствовать, но игрок будет многократно применять чистые стратегии случайным образом с определенной вероятностью?

В такой ситуации, оказывается, можно получать выигрыши, в среднем большие нижней цены игры, но меньшие верхней.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор применения его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

• игра без седловой точки;

• игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

• игра многократно повторяется в сходных условиях;

• при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

• допускается осреднение результатов игр.

Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.

Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А₁, А₂,..., А_m с соответствующими вероятностями р₁, р₂, ..., р_m,

где

,

Для игрока 2

где

,

q_j– вероятность применения чистой стратегии В_j.

В случае, когда p_i= 1 , для игрока 1 имеем чистую стратегию:

Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах

и средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:

,

где

и - векторы;

р_i и q_j - компоненты векторов.

Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть

.

Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие

.

Обозначим

и векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы и , при которых будет выполнено равенство

Цена игры g – средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры являются:

1)

- оптимальная смешанная стратегия игрока 1;

2)

- оптимальная смешанная стратегия игрока 2;

3) g - цена игры.

Смешанные стратегии будут оптимальными (

и ), если они образуют седловую точку для функции , т.е.

Существует основная теорема математических игр (доказательство см. в приложении).

Теорема 2.1. Для матричной игры с любой матрицей A величины

И

существуют и равны между собой:

.

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший, чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.