Смекни!
smekni.com

Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе (стр. 4 из 29)

Таблица 2.1

В данной матрице элементы

– значения выигрышей игро­ка 1 – могут означать и математическое ожидание выигрыша (среднее значение), если выигрыш является случайной величи­ной. Величины
,– соответственно мини­мальные значения элементов
, по строкам и максимальные - по столбцам. Их содержательный смысл будет отражен ниже.

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить.

Количество игроков. Если в игре участвуют две сто­роны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызыва­ют игры двух лиц. Они и математически более глубоко прорабо­таны и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию [3, 7, 12, 13].

Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каж­дый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, игра является бесконечной.

Взаимоотношения сторон. Согласно данному кри­терию игры делятся на кооперативные, коалиционные и бескоа­лиционные. Если игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к бескоалицион­ным; если игроки могут вступать в соглашения, создавать коали­ции - коалиционной. Кооперативная игра - это игра, в которой заранее определены коалиции.

Характер выигрышей. Этот критерий позволяет клас­сифицировать игры с нулевой и с ненулевой суммой. Игра с ну­левой суммой предусматривает условие: «сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю». Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. Естествен­но, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяется между игроками, но не меняется. К играм с ненулевой суммой также можно отнести большое количество экономических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, уча­ствующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игра, в которой нужно вносить взнос за право участия в ней, является игрой с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей. По этому критерию игры подразделяются на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т. д. Поясним суть некоторых из них.

Матричная игра - конечная игра двух игроков с нулевой суммой. В общем случае ее платежная матрица является прямо­угольной (см. табл. 2.1). Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соот­ветствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1 являет­ся элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Как показано в приложении, матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть реше­ны методами линейного программирования.

Биматричная игра - конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец — стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы - выигрыш игро­ка 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разра­ботана теория оптимального поведения игроков.

Если функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий является непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра - выпуклая.

Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента; то игра относится к сепарабельной.

Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно разделить на одношаговые и многошаговые. Одношаго­вые игры заканчиваются после одного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков проис­ходит распределение выигрышей. Многошаговые игры бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др. Подробнее см. [3,7,12,13].

Информированность cmoрон. По данному крите­рию различают игры с полной и неполной информацией. Если каждый игрок на каждом ходу игры знает все ранее приме­ненные другими игроками на предыдущих ходах стратегии, такая игра определяется как игра с полной информацией. Если игроку не все стратегии предыдущих ходов других игроков известны, то игра классифицируется как игра с неполной ин­формацией. Мы далее убедимся, что игра с полной информа­цией имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях.

Степень неполноты и н формации. По этому кри­терию игры подразделяются на статистические (в условиях час­тичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности, см. разд. 3.2). Игры с природой (см. гл. 3, 6) часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения информации на основе статис­тического эксперимента, при котором вычисляется или оценива­ется распределение вероятностей состояний (стратегий) приро­ды. С теорией статистических игр тесно связана теория приня­тия экономических решений.

Получив некоторое представление о существующих под­ходах к классификации игр, можно остановиться на оценках игры.

Рассмотрим матричную игру, представленную матрицей вы­игрышей тхп, где число строк

, а число столбцов
(см. табл. 2.1). Применим принцип получения максимального га­рантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стре­мится принять стратегию, обеспечивающую минимальный вы­игрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.

Подход игрока 1.Он должен получить максимальный гарантированный результат при наихудших условиях. Значит, при выборе отвечающей этим условиям своей чистой страте­гии он должен выбрать гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша а,., которое обозначим

Чтобы этот гарантированный эффект в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех а, выбрать наибольшее зна­чение. Обозначим его а и назовем чистой нижней ценой игры («максимин»):

Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка мат­рицы, которой соответствует элемент ai. Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией га­рантировал себе выигрыш, не меньший, чем a. Таково оптималь­ное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каж­дой j-й чистой стратегии он отыскивает величину своего макси­мального проигрыша

в каждом j-м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j-ю чистую стратегию. Из всех своих n j-х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры («минимакс»):

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, - выигрыш, не меньший, чем a. Игрок 2 за счет ука­занного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, что­бы игрок 1 мог получить выигрыш, больший, чем b. Таким об­разом, минимаксная стратегия отображается столбцом платеж­ной матрицы, в котором находится элемент b (см. табл. 2.1). Она является оптимальной чистой гарантирующей стратегией игро­ка 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.

Чистая цена игры v - цена данной игры, если нижняя и вер­хняя ее цены совпадают:

В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.

Пример 2.1. Определить верхнюю и нижнюю цены при за­данной матрице игры и указать максиминную и минимаксную стратегии. Представим матрицу игры с обозначениями страте­гий bj, a.j, (табл. 2.2).

Т а б л и ц а 2.2

Решение. Определим нижнюю цену игры:

;
;
(см. столбец
).

Определим верхнюю цену игры:

;
;
;
(см. строку bj).