Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе (стр. 26 из 29)

Выводы. Вероятность бесперебойной работы предприятия в данном месяце при условии выполнения договорных обязательств по кооперированным поставкам, если в прошлом месяце также не было срывов, равна 0,8.

Если же в прошлом месяце был срыв в кооперированных поставках, то вероятность бесперебойной работы предприятия снизится в этом месяце до 0,6.

8.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЗАПАСА ПРОДУКЦИИ ТОРГОВОЙ ФИРМЫ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Пусть Q - рыночный спрос на продукт торговой фирмы для фиксированного периода (день, неделя, месяц). Воспримем это как спрос игрока 1. Этот спрос может быть любым действительным положительным числом. Область состояний W = [0, ¥]. Продаваемый продукт оценивается, например, в килограммах и может заказываться в любом количестве. Нереализованный в данном периоде продукт не может быть продан в следующем периоде, так как теряет за время хранения свои потребительские качества. Значение QÎW заранее неизвестно.

Введем обозначения: а - запас продукта на некоторый период. Следовательно, считаем, что множество решений фирмы А = [0, ¥]; аÎА - конкретное решение фирмы (игрока 2), принимаемое в статистической игре с природой, которая определяет действительный спрос Q на продукт; L(Q, a) - функция потерь. Она является функцией платежей в исходной стратегической игре (W, A, L); k₁ - себестоимость + дополнительные затраты на хранение 1 кг продукта, который не был продан в установленное время, так как спрос на него оказался меньше прогнозируемого;

k₂- потеря прибыли на 1 кг продукта, обусловленная отсутствием товара, спрос на который превысил заказанное количество.

Принимая указанные обозначения, запишем кусочно-линейную функцию потерь фирмы:

Стратегическую игру (W, A, L) можно преобразовать в статистическую, если получить дополнительную статистическую информацию о спросе на продукт QÎW. Действительный спрос по периодам представлен заказчиком. Это вектор

который в различные периоды времени представляет разные размеры спроса. Пусть а = d(x) - статистическая нерандомизированная функция решения. Значение функции, определяющей оптимальное решение а об уровне запаса, найдем с помощью байесовской функции решения.

Известна функция действительного спроса на товар, соответствующего статистическому наблюдению, т. е.

.

Функцию априорного наблюдения G(Q|

) распределения спроса (состояний природы) обозначим F(Q).

Имеет место теорема: «Если, решая задачу, поставленную в форме статистической игры, статистик (игрок 2) провел эксперимент, наблюдая случайную величину Х с функцией условного распределения G(Q|

) или [F(Q)], и получил результат х, то неслучайная байесовская функция решения относительно некоторого априорного распределения x состояний природы равна а = d(x), где а Î А - решение, минимизирующее ожидаемое значение функции потерь L(Q, а) в условном апостериорном распределении состояний природы, заданном функцией распределения G(Q| x)».

Согласно данной теореме нужно минимизировать математическое ожидание

С использованием формулы (8.1) можно определить математическое ожидание при апостериорном распределении спроса Q:

Минимизируя математическое ожидание функции потерь (8.2) относительно о, получим:

где f(a) - плотность в точке а апостериорного распределения спроса. В соответствии с необходимым условием (8.3) получим уравнение

откуда

Итак, с помощью байесовской функции получено выражение для оптимального запаса. Оно равно числу а₀, удовлетворяющему равенству

где F(a₀) -функция апостериорного распределения спроса Q на продукт.

Результат (8.4) с учетом (8.5) означает, что для a₀ в распределении спроса Q должно выполняться условие

. Значит, a₀ должно быть квантилем порядка апостериорного распределения спроса Q.

Для вычисления оптимального запаса а₀ данного продукта на определенный период времени нужно:

1. Знать параметры k₁ и k₂, входящие в функцию потерь L(Q, a).

2. На основе статистических наблюдений получить апостериорное распределение спроса на товар.

3. С помощью функции этого распределения определить квантиль порядка

.

Если, в частности, k₁ = k₂, то оптимальный уровень запаса a₀будет соответствовать равенству F(a₀) =

. Другими словами, оптимальный уровень запаса представляет собой медиану в апостериорном распределении спроса Q.

Распределение близко к нормальному N(M, d), где М - математическое ожидание, d - среднее квадратичное отклонение.

Значение a₀ (или квантиль порядка

) можно определить по таблице нормированного нормального распределения.

Иногда распределение не относится ни к одному из известных исследователю законов распределения, тогда с помощью графика функции распределения спроса нужно определить квантиль порядка

. Рассмотрим, как это делается на практике.

Пример 8.6. Требуется определить оптимальное значение запаса товара. Известно: k₁ = 0,8; k₂ = 0,2; распределение спроса Q.

Решение. Представим распределение дневного спроса на товар, полученное по данным наблюдения (табл. 8.11).

Таблица 8.11

Доход, тыс. руб.	Частота	Накопленная частота
0-5	0,03	0,03
5-10	0,07	0,10
10-15	0,10	0,20
15-20	0,20	0,40
20-25	0,25	0,65
25-30	0,25	0,90
. 30-35	0,08	0,98
35-40	0,02	1,00

По табл. 8.11 строим график распределения спроса на товар (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Определение квантиля распределения

Рассчитаем квантиль распределения:

По квантилю, равному 0,2 (см. рис. 8.3), определяем a₀ = 12,3 тыс. руб. Это стоимостное выражение искомого оптимального запаса продукции торговой фирмы, равное 12,3 тыс. руб.

ПРИЛОЖЕНИЕ

СВЯЗЬ МАТРИЧНЫХ ИГР С ЛИНЕЙНЫМ ПРОГРАММИРОВАНИЕМ (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ИГР). ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Первоначально развитие теории стратегических матричных игр осуществлялось параллельно и независимо от линейного программирования. Позже было установлено, что стратегическая матричная игра может быть сведена к паре двойственных задач линейного программирования. Решив одну из них, получаем оптимальные стратегии игрока 1; решив другую, получаем оптимальные стратегии игрока 2. Математическое соответствие между стратегическими матричными играми и линейным программированием было установлено Дж. Б. Данцигом, сформулировавшим и доказавшим в 1951 г. основную теорему теории игр [23].

Теорема. Каждая матричная игра с нулевой суммой всегда имеет решение в смешанных стратегиях, т.е. существуют такое число v и такие стратегии U* и W* игроков 1 и 2 соответственно, что выполняются неравенства:

Поясним смысл доказываемых неравенств: если игрок 1 отклоняется от своей оптимальной стратегии, то его выигрыш не увеличивается по сравнению с ценой игры; если от своей оптимальной стратегии отклоняется игрок 2, то по сравнению с ценой игры его проигрыш не уменьшается.

Доказательство. Пусть матрица игры равна A =

. Всегда можно считать, что все коэффициенты а_ij > 0. Если это не так, то предположим, что наименьший из всех отрицательных коэффициентов есть а⁰ < 0. Тогда увеличим все элементы платежной матрицы на произвольное положительное число а > – а⁰ . Функция выигрыша при этом окажется равной