Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе (стр. 20 из 29)
,где r(x,d) -байесовский риск функции решения d с учетом априорного распределения x.
Если в качестве оптимальной принимается байесовская функция решения, то используется формула r(x,d).
Вводя рандомизацию на стороне природы, приходим к дальнейшему расширению статистической игры.
Игра (X, D*, r) со смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне статистика и на стороне природы называется полностью расширенной статистической игрой.
Поясним в полностью расширенной статистической игре (X, D*, r) ее составляющие:
X - множество всех априорных распределений x состояний природы или множество ее смешанных стратегий;
D* - множество всех случайных функций решения;
r = r(x,d) - байесовский риск.
Представим схему расширения статистической игры (рис. 6.1). При наличии данных без учета стохастических распределений имеем исходную стратегическую игру двух лиц с нулевой суммой, которая относится к антагонистическим играм. Данная игра является исходной для соответствующей статистической задачи принятия решения.
Рис. 6.1. Расширение статистической игры
Если статистик (экспериментатор) не имеет возможности провести эксперимент со случайной величиной X, чтобы получить ее распределение, которое зависит от состояния природы, он вынужден будет использовать только стратегическую игру (W, A, L).
Однако очень часто статистик может провести эксперимент и получить в результате вектор
, которым он в состоянии воспользоваться при принятии решения аÎА функции d( ). В этом случае платеж L(Q, а) становится случайной величиной, а игра - статистической G(W, D, R). Стратегией статистика будет dÎD, а платежом природе от статистика станет его риск R(Q, d).Далее у статистика остаются две альтернативы:
1) воспользоваться рандомизацией состояний природы и перейти к расширенной (X, D, r) статистической игре;
2) воспользоваться рандомизацией функций решения и перейти к расширенной статистической игре (W, D*, R).
Наконец, если статистик применит смешанные стратегии для обоих игроков, то получит полностью расширенную статистическую игру ((W, D*, r).
На практике статистик для выбора оптимальной стратегии может не производить рандомизацию, а в качестве оптимальной взять байесовскую функцию решения.
А. Вальд, создавая теорию статистических игр, опирался на созданную Д. Нейманом теорию стратегических игр, поэтому сравним далее понятия стратегических игр двух лиц с нулевой суммой и понятия статистических игр статистика с природой. Для этого укажем основные обозначения в стратегической и статистической играх:
Х - совокупности стратегий игрока 1;
Y - совокупности стратегий игрока 2;
W— платежная функция;
W(X,Y) - платеж игрока 2 игроку 1;
G == (X,Y,W) - игра игрока 1 с игроком 2;
Г = (X, Н, К) ~ смешанное расширение игры G = (X, Y,W), где X - множество всех смешанных стратегий x игрока 1;
Н - множество всех смешанных стратегий h игрока 2;
К - риск игрока 2.
Составим сравнительную таблицу задач статистических решений с игрой двух лиц с нулевой суммой (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Для всех состояний природы не существует одной наилучшей функции решения. От статистика требуется применение таких методов, которые дают оптимальные функции решения в более узком диапазоне.
Для этого необходимо использовать критерии оптимальности.
Статистик в статистической игре (W, D, R) или в расширенных статистических играх стремится к выигрышу, т. е. к определению наилучшей функции решения, при которой риск R(Q, d) был бы минимальным. Но это не просто, так как для каждого состояния природы Q имеется своя лучшая функция.
Пусть у нас имеются две различные функции решения d1 и (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Сравнение двух функций решения
Можно выделить область, где функция d1 будет лучшей, - в диапазоне состояний природы Q1< Q<Q2. Вторая функция d2 будет лучшей для состояния природы при Q<Q1 и при Q>Q2.
Функция d Î D называется допустимой, если в множестве D* нет никакой другой функции решения d0, которая была бы лучшей d для всех QÎW. Данная функция для каждого QÎW должна удовлетворять неравенству R(Q,d0) £ R(Q,d). Таким образом, допустимая функция решения не будет доминирующей стратегией статистика в статистической игре.
Рассмотрение только допустимых функций существенно уменьшит множество D* до множества допустимых функций решения.
Отметим, что байесовские функции решения входят в класс допустимых функций.
Определение. Функция решения d0ÎD* называется байесовской относительно априорного распределения xÎX состояний природы Q, если она минимизирует байесовский риск r(x, d) на множестве D*.
Таким образом, r(x, d) =
r(x, d). Приведем формулу Байеса. Прежде чем ее написать, обратимся к теореме о полной вероятности [2, разд. 2.5, 2.6].Теорема. Если событие А может наступить только при условии появления одного из событий В1, В2, ...,Bn, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий В1, В2, ...,Bnна соответствующую условную вероятность события А:
где P(Bi) - вероятность события Bi;
Р(А|Вi) - условная вероятность события А в случае, если событие Вiуже произошло.
Формула Байеса используется тогда, когда событие А появляется совместно с каким-либо из полной группы несовместных событий В1, В2, ..., Bn. Событие А произошло, и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий В1, В2, ..., Bn. При этом известны вероятности Р(В1), Р(В2),..., Р(Bn) до опыта (априорные). Требуется определить вероятности после опыта (апостериорные).
Апостериорные вероятности представляют собой условные вероятности Р(В1|А), Р(В2|А) ,..., Р(Вn|А). Вероятность совместного наступления событий А с любым из этих событий Вj по теореме умножения равна:
Эту формулу можно переписать исходя из формулы полной вероятности:
Задача 6.1. Собирается партия исправных изделий с трех предприятий. Первый завод поставляет 60 %, второй - 30 %, третий - 10 % изделий. В1, В2, В3 - события, соответствующие тому, что изделия изготовлены на первом, втором и третьем предприятиях.
Вероятность исправной работы изделий первого предприятия равна 0,98, второго - 0,99, третьего - 0,96.
Определить вероятность того, что в собранную партию исправных изделий попали соответственно изделия с первого, второго и третьего предприятий.
Введем обозначения:
А - событие, заключающееся в том, что изделие исправно;
Р(А) - полная вероятность того, что изделие исправно;
Р(В1|А), Р(В2|А), Р(В3|А) - условные вероятности того, что исправное изделие изготовлено соответственно на первом, втором и третьем предприятиях;
Р(A|В1), Р(A|В2), Р(A|В3) - условные вероятности того, что изделие, изготовленное соответственно на первом, втором и третьем предприятиях, исправно;
Р(В1), Р(В2), Р(В3) - вероятности того, что изделие изготовлено соответственно на первом, втором и третьем предприятиях.
Известно: Р(А|В1) = 0,98; Р(А|В2) = 0,99; Р(А|В3) = 0,96; Р(В1) = 0,60; Р(В2) = 0,30; Р(В3) = 0,10.
Требуется определить Р(А); Р(В1|А); Р(В2|А); Р(В3|А).
Решение. 1. Определим полную вероятность того, что изделия, прибывшие с разных предприятии, исправны:
2. Вычислим условные вероятности того, что в партию исправных попали изделия с первого, второго и третьего предприятии соответственно:
3. Проверим: Р(В1|А) + Р(В2|А) + Р(В3|А) = 0,599 + 0,303 + + 0,098 = 1.
Вывод. По формуле Байеса количественная переоценка доли предприятии в партии исправных изделии составляет: первое предприятие имеет 59,9 %; второе - 30,3 %; третье - 9,8 %.