Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе (стр. 19 из 29)

6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Создателем теории статистических игр считается А. Вальд. Он показал, что в теории принятия решений статистические игры являются основным подходом, если решение принимается в условиях частичной неопределенности.

Статистические модели представляют собой игру двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнительной статистической информации о состояниях природы.

Она существенно отличается от антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой, где выигрыш одного равен проигрышу другого.

В статистической игре природа не является разумным игроком, который стремится выбрать для себя оптимальные стратегии. Этот игрок не заинтересован в выигрыше. Другое дело -человек, в данном случае статистик. Он имеет целью выиграть игру с воображаемым противником, т. е. с природой.

Игрок-природа не выбирает оптимальной стратегии, но статистик должен стремиться к определению распределения вероятностей состояния природы. Следовательно, основными отличиями статистической игры от стратегической являются:

• отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, т. е. отсутствие антагонистического противника;

• возможность второго игрока - статистика провести статистический эксперимент для получения дополнительной информации о стратегиях природы.

Так, например, статистик, работающий в фирме «Одежда», может изучить многолетние данные о погодных условиях в местностях, где одежда будет продаваться, и в зависимости от наиболее вероятного состояния погоды выработать рекомендации, куда и какое количество партий изделий отправлять, где выгоднее и на каком уровне провести сезонное снижение цен и т. д.

Таким образом, теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки этих наблюдений и их использования.

В теории статистических решений основные правила могут быть детерминированными и рандомизированными.

В статистических играх используются понятия: риск (функция риска), потери (функция потерь), решение (функция решения), функции распределения при определенных условиях.

Необходимо пояснить понятие рандомизации. Это статистическая процедура, в которой решение принимается случайным образом. Математическая энциклопедия это определяет более подробно: «Статистическая процедура принятия решения, в которой по наблюденной реализации х случайной величины Х решение принимается с помощью розыгрыша по вероятностному закону, называется рандомизацией»*.

* Математическая энциклопедия. Т.4. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - С. 865.

Введем условные обозначения:

В или W - множество состояний природы;

В. или Q_j - отдельное состояние природы, Q_j Î W;

А — множество действий (решений) статистика;

а - отдельное решение статистика, a Î А;

L - функция потерь. Множества W и А предполагаются численно определенными, поэтому представляется возможным установить распределение вероятностей. Если принятое статистиком решение a Î А и состояние природы Q Î W, то функция потерь запишется L(Q; a);

D - совокупность всех нерандомизированных (чистых) функций решения;

) - функция решения;
- случайный вектор. Характеристикой функции решения является функция потерь. Статистик может перед принятием одного из возможных решений провести эксперимент, который заключается в наблюдении случайной переменной х. В итоге представляется возможным получить распределение этой случайной переменной в зависимости от состояния природы Q;

F(x|Q) - функция условного распределения случайной переменной х. Предполагается, что для каждого состояния природы Q известно значение функции F(x|Q);

п - объем выборки;

x_Q — множество всех выборок объема п. После получения результата эксперимента х статистик использует некоторую функцию решения и принимает одно из решений а Î А, когда результат эксперимента - вектор

R — функция риска;

R(Q,d) - функция риска, определенная на прямом произведении W´D множества состояний природы и множества решений.

Игра (W, A, L) - исходная стратегическая игра, соответствующая стратегической задаче принятия решения;

G = (W, D, R) - статистическая игра;

s - рандомизированная функция решения;

D* - множество случайных функций решения, s Î D*. Подразумевается, что D Ì D*, так как чистая функция решения (нерандомизированная) может быть рассмотрена как смешанная, которая используется с вероятностью, равной 1;

G(Q) - функция априорного распределения состояний природы Q;

X - совокупность всех априорных распределений x Î X.

6.2. СВОЙСТВА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР

Функция решения, отображающая множество выборок X_Q в множество решений статистика A, называется нерандомизированной (чистой) функцией решения статистика. Так, по результатам эксперимента

статистик определяет, какое решение а Î А он должен выбрать. Для выбора из множества D наилучшей функции решения он использует функцию риска.

Функция риска зависит от множества состояний природы и от множества функций решения и принимает значение, выраженное действительными числами. Она определяет математическое ожидание функции потерь при некотором состоянии природы Q и известной статистику функции распределения F(

|Q), когда а=d(

Представим функцию риска:

где M - знак математического ожидания;

L(Q, a) - функция потерь при состоянии природы Q и d(

) = a.

В теории статистических функций любую неотрицательную функцию L, определенную прямым произведением W´D, называют функцией потерь. Значение L(Q,d) функции потерь L в произвольной точке (Q, d)Î W´D интерпретируют как ущерб, к которому приводит принятие решений d, dÎD, если истинное значение параметра есть Q, Q Î W.

Выражение W´D - прямое произведение множества состояний природы и множества функций решения. Функция R(Q, d) не является случайной величиной, а принимается как платеж статистика в его игре с природой при следующих условиях:

• состояние природы фиксировано;

• функция решений выбрана, d Î D.

Стратегическая игра (W, A, L) становится статистической, G = (W, D, R), если используется результат эксперимента - вектор

. Игра называется статистической, если в ней:

• X_Q - множество n-мерных выборок;

• D - множество функций решений, которые преобразуют X_Q в А;

• W - множество состояний природы;

• R(Q, d) - функция риска.

Статистическая игра записывается как G = (W, D, R). Данная игра является игрой двух лиц с нулевой суммой, где dÎD -функция решения статистика, а риск R(Q, d) статистика - платеж природе.

Статистик может не прибегать к рандомизации, если он использует как оптимальную байесовскую функцию решения r (см. разд. 6.2.1).

Рандомизация на стороне статистика проводится двумя методами:

1) применение решений аÎА с определенными вероятностями (смешение решений);

2) смешение чистых функций решения dÎD, т.е. рандомизация функций решения.

Чаще применяется второй метод.

Распределение вероятностей d на множестве D чистых функций решения d называется рандомизированной (смешанной) функцией решения статистика.

Функция риска становится случайной величиной, если экспериментатор применяет в статистической игре случайную функцию решения dÎD*, т. е. когда каждой чистой функции решения dÎD приписывается вероятность, с которой она должна использоваться.

Платежом будет математическое ожидание функции потерь, взятое для некоторого состояния природы Q при распределении d, определенном на множестве чистых функций решения D:

Если статистик использует случайные функции решения dÎD*, то этим расширяется (обобщается) статистическая игра.

Расширенная статистическая игра (W, D*, R) называется также смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне статистика.

Дальнейшее расширение статистической игры может быть достигнуто при предположении, что природа также «применяет» стратегию при «выборе» своего состояния Q.

Априорное распределение вероятностей x на множестве W состояний природы означает распределение до проведения эксперимента. Это априорное распределение xÎX состояний природы является случайной (смешанной) стратегией природы в статистической игре, где природа не рассматривается как разумный игрок.

Если Q предполагается случайной величиной с априорным распределением x, то риск R(Q,d) становится случайной переменной при фиксированной функции решения d. В данном случае математическое ожидание риска R(Q,d) при априорном распределении x, задаваемом функцией распределения G(Q), определяется как