Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе (стр. 16 из 29)
Обозначения в модели:
Аi - объем инвестиций в направление (проект) А в начале месяца i (i = 1,2,...,6);
Вi - объем инвестиций в направление (проект) В в начале месяца i (i = 1,3,5);
Таблица 5.2
Сi - объем инвестиции в направление (проект) С в начале месяца i (i = 1,4);
Di - объем инвестиций в направление (проект) D в начале месяца i (i = 1);
К - объем инвестиций в начале первого месяца.
Цели, на достижение которых направлена инвестиционная деятельность АО, а также необходимые ограничения формализуются следующими соотношениями:
1. Начальная сумма инвестиций К должна быть минимальной:
К ® min.
2. Согласно табл. 5.2 балансовые ограничения на структуру инвестиций для каждого месяца имеют вид:
3. Ограничения на средневзвешенные риски проектов (для каждого месяца)*:
4. Ограничения на средний срок погашения инвестиционного фонда (для каждого месяца):
* Запись А 
В означает, что из истинности условия А вытекает условие В.
Таким образом, задача описывается моделью линейного программирования, имеющей 19 ограничений в форме равенств и неравенств и 13 переменных.* Оптимальное решение, найденное с помощью специальной компьютерной программы на ПК IBM PC/AT, имеет вид:
* Последние два ограничения в блоке 4 в силу неотрицательности искомых переменных выполняются всегда, и их можно не учитывать.
Благодаря полученному оптимальному решению удалось обеспечить уплату в срок обусловленных контрактом 150 000 дол. и вместо необходимых для конечных расчетов 600 000 дол. (750 000 - 150 000 = 600 000 дол.) заработать К = 683 176,44 дол., часть из которых способствовала уменьшению долговых обязательств по контракту (на 13,86 %).
Оптимальное решение показывает, каким неочевидным заранее, но эффективным способом распределяются инвестиционные ресурсы по месяцам реализации проекта.
Это демонстрирует возможности линейного программирования, обусловливая эффективность того, что на первый взгляд таковым не казалось.
Задача 5.2. В табл. 5.3 отражены пять проектов, которые конкурируют между собой за получение инвестиционных фондов компании. Мы видим, какие наличные деньги будут получены на вложение одного доллара.
Таблица 5.3
| Год | Эффективность инвестиционного проекта на один вкладываемый доллар | ||||
| А | В | С | D | E | |
| Первый | -1,00 | 0 | -1,00 | -1,00 | 0 |
| Второй | +0,30 | -1,00 | +1,00 | 0 | 0 |
| Третий | +1,00 | +0,30 | 0 | 0 | -1,00 |
| Четвертый | 0 | +1,00 | 0 | +1,75 | +1,40 |
Например, проект А - это инвестиции, которые можно сделать в начале первого года на два следующих года, причем в конце этого же года можно возвратить 30 центов на вложенный доллар, а в конце следующего года можно дополнительно получить еще 1 дол. Максимальная сумма, которая может быть вложена в этот проект, составляет 500 000 дол. Проект В полностью аналогичен проекту А, но вложение денег можно сделать только в начале следующего года и т.д. Деньги, полученные в результате инвестиций, можно реинвестировать в соответствии с предложенной схемой. В дополнение к этому компания может получать по 6 % годовых за краткосрочный вклад всех денег, которые не были вложены в инвестиции в данном году.
У компании имеется 1 000 000 дол. для инвестиций. Она хочет максимизировать сумму денег, накопленных к конечному периоду. Сформулируем задачу линейного программирования и получим решение на ЭВМ.
Решение. Построим экономико-математическую модель и приведем полученное на ЭВМ оптимальное решение.
Обозначения:
a1, b1, c1, d1, е1 - инвестиции в проекты А, В, С, D, Е соответственно; индексы 1,2,3 указывают первый, второй и третий годы вложения инвестиций;
s1, s2, s3 - суммы, которые можно положить под краткосрочные 6 % соответственно в первом, втором, третьем годах.
Экономико-математическая модель:
а) в проект А в первый год не может быть вложено более 500 000 дол.:
а1£ 500 000;
б) поскольку у компании имеется 1 000 000 дол., то во все проекты эта сумма должна быть вложена в первом году (иначе к конечному периоду компания не максимизирует своих накоплений):
a1, + с1 + d1+ s1 = 1 000 000;
в) аналогичный баланс на второй год:
0,30a1 + 1,1с1 + 1,06s1 = b1 + s2;
г) аналогичный баланс на третий год:
а1 + 0,3b2 + 1,06s2 = e3 + s3;
д) максимальный доход к конечному периоду:
b2 + 1,75d1 + 1,4e3 + 1,06s3 ® max.
Полученное оптимальное решение:
Максимальный доход к конечному периоду равен 1 797 600 дол., что указывает на высокую эффективность инвестиционного процесса (прирост на 79,76 %). Остальные не приведенные значения указанных переменных модели равны нулю.
5.2. ОЦЕНКА ТЕКУЩЕЙ СТОИМОСТИ ФИРМЫ
Будем рассматривать экономическое поведение неограниченно долго работающей акционерной фирмы в условиях неопределенности.
Покажем, что для такой фирмы, функционирующей во времени, существует простое правило, которому она должна следовать, чтобы максимизировать свою прибыль: максимизировать текугцую стоимость фирмы (включая и стоимость потенциальной возможности выполнения ею проектов).
5.2.1. ЧИСТАЯ ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ (БЕЗРИСКОВАЯ СИТУАЦИЯ)
Дается ответ на вопрос: сколько вы сегодня заплатите за проект, который через год даст 100 дол. дохода? Плата составляет X дол., r - заданный процент прибыли (r % годовых - коэффициент дисконтирования):
Рассмотрим безрисковую ситуацию, которая обеспечивается государственными ценными бумагами (облигациями, сертификатами и т.д.).
Общее правило: если через t лет мы получим чистые наличные в стоимостном выражении NCF, то приведенная к начальному моменту стоимость проекта PV равна:
Величину PV можно интерпретировать как сумму ожидаемого дохода минус процент на капитал в качестве компенсации за ожидание.
Исходя из формулы (5.1) выявим некоторые практически важные закономерности.
1. Существует обратная зависимость между величиной PV и продолжительностью периода времени, через которую сумма NCF будет получена: PV для периода t будет больше, чем для периода t + i. Другими словами, сегодняшние деньги дороже завтрашних даже при отсутствии инфляции. А инфляция этот процесс только усиливает.
2. Существует обратная зависимость между величиной РV при определенном размере NCF и коэффициент дисконтировая r: чем больше r, тем значение PV меньше при NCF = const, т.е. чем больше r, тем более сегодняшние деньги дороже завтрашних.
3. Существует прямая зависимость между PV и NCF при фиксированных значениях r и периоде выплаты t.
Пусть в течение периода t мы получаем: через год – NCF1 , через 2 года – NCF2 ,..., через t лет – NCFt и пусть rt – ежегодный процент на капитал, который мы получаем через t лет (предполагается, что процент на капитал может ежегодно меняться, как это и наблюдается на практике). Тогда приведенная к начальному моменту стоимость PV равна:
Суть формулы (5.1) при различных значениях г графически отражена на рис.5.1.
Рис. 5.1. Темпы спада pV в зависимости от времени и коэффициента дисконтирования