Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе (стр. 14 из 29)
Рис. 4.4. График функции полезности ЛПР, не склонного к риску
Формально мы имеем график вогнутой функции, о которой известно, что ордината любой точки кривой больше ординаты точки хорды кривой. Определим соотношение, характеризующее ЛПР, не склонного к риску. Нетрудно видеть, что
U(M1) - значение полезности в точке А;
U(M2) - значение полезности в точке В;
U(pM1 + (1 - р)М2) - значение полезности в точке С.
Уравнение хорды АВ имеет вид:
U1 = а + bМ ,
где U1 - совокупность точек, лежащих на отрезке прямой.
Найдем значения параметров а и b уравнения прямой.
В точке А имеем U(M1) = а + bМ1.
В точке В имеем U(M2) = а + bМ2.
Вычитаем из первого выражения второе, исключая величину a:
U(M1) – U(M2) = b(M1 – М2) ,
откуда получаем:
После подстановки значений для параметров а и b уравнение хорды АВ имеет вид:
где М1 £ М £ M2.
Пусть М = рМ1 + (1 – р)М2, где 0 £ р £ 1, тогда в точке С справедливо неравенство
Подставив в это неравенство вычисленные значения а и b, получим:
или
U(pM1 + (1 - р)М2) > PU(M1) + (1 - p)U(M2). (4.2)
Неравенство (4.2) характерно для функции полезности ЛПР, не склонных к риску. Оно действительно показывает, что полезность среднего выигрыша (полезность ОДО) больше ожидаемой полезности игры: с вероятностью р выиграть М1 и с вероятностью (1 – р) выиграть М2.
Аналогично можно показать, что для функций полезности ЛПР, склонных к риску, справедливо неравенство
U(pM1 + (1 – р)М2) < pU(M1) + (1 – p)U(M2). (4.3)
Для функций полезности ЛПР, безразличных (нейтральных) к риску, имеет место равенство
U(pM1 + (1 – р)М2) = pU(M1) + (1 – p)U(M2). (4.4)
Склонность или несклонность ЛПР к риску, как уже отмечалось, зависит от его финансового положения, текущей ситуации принятия решения и других факторов. Иначе говоря, эта характеристика ЛПР не является абсолютной, присущей ему при любых обстоятельствах.
Приведем пример игры, по отношению к которой любой игрок не склонен к риску.
Петербургский парадокс (игра придумана петербургскими гусарами). Играют двое. Один бросает монету до тех пор, пока не выпадет «орел». Выигрыш равен (2)n руб., где п - число бросков до появления «орла». Ожидаемая величина выигрыша:
ОДО = 2(1/2) + (2)2 (1/4) + (2)3(1/8) + ... = 1+1+1+ ... .
Вряд ли какой-либо игрок согласится заплатить за право участвовать в этой игре сумму, равную ОДО: эта сумма бесконечно велика.
Предположим теперь, что имеет место игра (лотерея) с альтернативами a и в, т.е. G(a,в: a). Исследуем проблему, как целесообразнее поступить ЛПР: играть или получить гарантированный выигрыш, равный ожидаемому выигрышу. Пусть функция полезности игрока определена как U(W) = ln(W), где W- величина благосостояния. Пусть игра заключается в выигрыше 5 дол. с вероятностью 0,8 и в выигрыше 30 дол. с вероятностью 0,2. Ожидаемая величина выигрыша (ОДО):
E(W) = 5*0,8 + 30*0,2 = 10 дол.
Для указанной логарифмической функции полезности имеем зависимость, выраженную в табл. 4.1.
Таблица 4.1
| W | 1 | 5 | 10 | 20 | 30 |
| U(W) | 0 | 1,61 | 2,30 | 3,00 | 3,40 |
Рассчитаем полезность ОДО для данной игры:
U(E(W)) = U(10) = ln(10) = 2,3,
т.е. полезность отказа от игры при получении гарантированного выигрыша, равного 10 дол. (ОДО данной игры), оценивается в 2,3 ютиля (ютиль - условная единица полезности). Если ЛПР предпочтет игру, то
E(U(W)) = 0,8U(5) + 0,2U(30) = 0,8*1,61 + 0,2*3,40 = 1,97 ютиля.
Для рассмотренной логарифмической функции полезности большей полезностью обладает вариант с получением гарантированного выигрыша, равного E(W)=ОДО, а не участие в игре (2,3 > 1,97). Такое лицо, принимающее решение, не склонно к риску.
Выводы. Из соотношении (4.2) – (4.4) вытекает:
• если U(E(W)) > E(U(W)), игрок не склонен к риску;
• если U(E(W)) = E(U(W)), игрок нейтрален (безразличен) к риску;
• если U(E(W)) < E(U(W}), игрок склонен к риску.
Здесь Е и U - соответственно символы математического ожидания и функции полезности.
Пусть по-прежнему полезность выражается логарифмической зависимостью U(W) = ln(W) (см. табл. 4.1).
Определим, какую максимальную сумму пожелает заплатить ЛПР, чтобы избежать игры, в которой с вероятностью 0,8 он выигрывает 5 дол. (уменьшение выигрыша на 5 дол. по сравнению с ОДО = 10 дол.) и с вероятностью 0,2 выигрывает 30 дол. (увеличение выигрыша на 20 дол. по сравнению с ОДО). Значение ожидаемой полезности игры составляет 1,97 ютиля, что соответствует гарантированному выигрышу 7,17 дол. (ln7,17 = 1,97). С другой стороны, сумма ожидаемого выигрыша в случае игры (ОДО) равна 10 дол. Поэтому, чтобы избежать игры, ЛПР согласится заплатить максимальную сумму, равную
10 – 7,17 = 2,83 дол.
Из этого следует, что, если ЛПР предлагают застраховаться от игры и просят за это сумму, меньшую, чем 2,83 дол., ему выгодно принять предложение. В данном случае величина, равная 2,83 дол., - премия (максимальная плата) за риск.
Рассмотрим некоторые приложения теории полезности.
Задача 4.2. Оптимальная величина страхования. Ювелир владеет бриллиантом стоимостью 100 000 дол. и желает застраховать его от кражи. Страховка покупается по правилу: цена страховки составляет 20 % от суммы, которую страхуют. Например, если бриллиант страхуется на всю стоимость (100 000 дол.), страховка стоит 20 000 дол., если страхуется на половину цены (50 000 дол.). то страховка обходится в 10 000 дол. Если ювелир будет знать (построит) свою функцию полезности, он сможет рассчитать, на какую оптимальную сумму следует застраховать дорогую вещь.
Ювелир может оказаться в одной из двух ситуации: 1) бриллиант украден; 2) бриллиант не украден. Чем больше сумма страхования, тем больше его состояние (капитал), если бриллиант украден, но тем меньше его состояние, если бриллиант не украден.
Например, если бриллиант застрахован на 50 000 дол., имеют место два случая:
1. Бриллиант украден. При этом потери ювелира рассчитываются следующим образом:
-100 000 (бриллиант) - 10 000 (страховка) + 50 000 (компенсация) = -60 000 дол., а капитал 50 000-10 000 = 40 000 дол.
2. Бриллиант не украден. В этом случае капитал ювелира составит:
100 000 (бриллиант) - 10 000 (страховка) = 90 000 дол.
Если бриллиант застрахован на 100 000 дол., то в случае кражи бриллианта капитал составит 100 000 - 20 000 = 80 000 дол. Если бриллиант не украден, капитал также составит 80 000 дол. Обозначим капитал ювелира в случае, если бриллиант не украден, через Yn:
Yn = 100 000 - 0,2К, (4.5)
где К - сумма страхования.
Если бриллиант украден, то капитал ювелира определим как Yt:
Yt = 0,8 K .
Соответствующий график, отражающий бюджетное ограничение, представлен на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Графическое решение задачи 4.2
Предположим, что можно экспертно определить вероятность р того, что бриллиант будет украден. Тогда полезность капитала Yt, равна U(Yt). Вероятность того, что бриллиант не украден, составляет (1-р), и U(Yn) - полезность капитала Yn в этом случае.
Ожидаемая полезность U «игры» (с вероятностью р бриллиант украден и с вероятностью (1 - р) - не украден) определяется согласно формуле (4.1) выражением
U = pU(Yt)+(1-p)U(Yn).
Значения Yt и Yn следует выбирать таким образом, чтобы ожидаемая полезность была максимальной, т.е.
pU(Yt) + (1-р)(Yn)
max .Пусть точка касания кривой безразличия (линия одинаковой полезности) на рис. 4.5 соответствует Yn = 86 000 дол., Yt = 56 000 дол.
Тогда согласно формуле (4.5) имеем: 86 000 = 100 000 - 0,2К, откуда оптимальная величина страхования К = 70 000 дол.
Задача 4.3. Спрос на страхование. Пусть финансовое состояние индивида оценивается заданным значением W. Предполагается, что можно вычислить вероятность р потери некоторой части этого состояния, определяемой суммой L £ W (например, в результате пожара). Индивид может купить страховой полис, в соответствии с которым ему возместят нанесенный ущерб в размере q. Плата за страхование составляет pq, где p - доля страхования в объеме нанесенного ущерба. Проблема состоит в определении значения q.
Исследуем задачу максимизации ожидаемой полезности финансового состояния индивида в ситуации, когда с вероятностью р страховой случай происходит и с вероятностью (1 –р) - не происходит. Тогда задача сводится к поиску максимума по q ожидаемой полезности капитала индивида: