Статистическая проверка гипотез (стр. 4 из 8)
7.Проверка гипотезы о согласованности мнений экспертов (априорное ранжирование переменных)
Суть метода состоит в том, что специалистам (экспертам), хорошо знакомым с исследуемым процессом, предлагается расположить факторы в порядке убывания степени их влияния на переменную состояния.
Пусть приглашены m экспертов, которым предложено проранжировать n факторов: x1, x2,...,xn. Обозначим через аij - ранг, выставляемый i-ым экспертом j-му фактору (1£аij £n; i=1,...,m; j=1,...,n).
Результаты опроса заносятся в сводную таблицу:
Таблица 5.
| фактор | X1 | X2 | ................ | Xn |
| №спец | ||||
| 1 2 : : : m | a11 a21 : : : am1 | A12 a22 : : : am2 | ................ ................ ................ ................ ................ ................ | A1n a2n : : : amn |
Сумма рангов по строке (сумма рангов, выставляемых конкретным экспертом) для всех строк одинакова
.Среднее значение рангов в строке:
Среднее значение суммы рангов фиксированного фактора:
По результатам опроса экспертов проверяется гипотеза H0: мнение экспертов согласованы, при альтернативной гипотезе H1: мнения экспертов не согласованы. Вычисляется коэффициент согласия (коэффициент конкордации):
,где S(d2) - сумма квадратов отклонения суммы рангов от средней суммы:
,а
.Если мнения экспертов согласованны, то:
Если мнения экспертов рассогласованны, то: S(d2) близко к 0.
Таким образом, получаем, что если мнения экспертов согласованны, то коэффициент конкордации W = 1. Если мнения экспертов полностью рассогласованны, то W» 0.
Для проверки нулевой гипотезы в качестве статистического критерия выбираем случайную величину (n-1)×m×W. Доказано, что при n>7 эта случайная величина имеет c2.- распределение с числом степеней свободы f = n - 1. Таким образом, критическое значение критерия определяется по таблице критических точек c2.-распределения в зависимости от q и f. Наблюдаемое значение:
c2.набл.= (n-1)×m×W
Если c2.набл.> c2.кр., то мнения экспертов согласуются. В противном случае мнения экспертов рассогласованны (критическая область левосторонняя).
Если из нескольких факторов эксперт ни одному не может отдать предпочтение, то в этом случае в таблицу ранжирования этим факторам он выставляет одинаковые дробные ранги . Коэффициент конкордации вычисляется по формуле:
,где
,где i - номер эксперта;
k - номер повторения;
tik - число одинаковых рангов в k-ом повторении.
Если мнения экспертов согласованны, то строится ранжировочная диаграмма. В ней по оси абсцисс откладываются факторы, по оси ординат - суммы рангов в обратном порядке. По виду диаграммы судят о значимом или незначимом влиянии факторов на переменную состояния и об использовании факторов в основном эксперименте.
Пример:
Для некоторого технологического объекта рассматриваются шесть факторов, влияющих на переменную состояния. Мнения четырёх экспертов приведены в таблице. Проверить гипотезу о согласованности экспертов и, если она справедлива, то изобразить гистограмму ранжирования.
Таблица 7.
| №ф./ №спец | x1 | x2 | X3 | X4 | x5 | x6 | ti1 | t3i1-ti1 | ti2 | t3i2- ti2 | Ti |
| 1 | 1.5 | 5 | 1.5 | 4 | 3 | 6 | 2 | 6 | 0 | 6 | |
| 2 | 2 | 3 | 1 | 4.5 | 4.5 | 6 | 2 | 6 | 0 | 6 | |
| 3 | 2 | 3 | 1 | 5.5 | 5.5 | 4 | 2 | 6 | 0 | 6 | |
| 4 | 1.5 | 3.5 | 1.5 | 5 | 3.5 | 6 | 2 | 6 | 2 | 6 | 12 |
 | 7 | 14.5 | 5 | 19 | 16.5 | 2.2 | |||||
 | -7 | 0.5 | -9 | 5 | 2.5 | 8 | |||||
| dj2 | 49 | 0.25 | 81 | 25 | 6.25 | 64 |
m=4; n=6.
Средняя сумма рангов в столбце:
. 
.Вычислим коэффициент конкордации:
.Наблюдаемое значение критерия определяется по формуле:
c2.набл =m(n-1)W=4×5×0,805=16,1..
Критическое значение критерия находим в таблице для уровня значимости q=0.05 и числа степеней свободы f = n - 1 = 6 – 1 = 5:
c2.кр.= c2.(0,05;5)=11,07.
Так как c2.набл.> c2.кр., то мнения экспертов согласованны.
åаij 
0 
10 
20 
30 XX3 X1 X2 X5 X4 X6
Рис.2. Ранжировочная гистограмма.
8. Уравнение линейной регрессии. Коэффициент корреляции. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции
После отсеивания незначимых факторов проверяется наличие корреляционных связей между факторами и между факторами и переменной состояния. Из статистики известно, что линейная связь между величинами X и Y оценивается с помощью коэффициента корреляции.
Пусть проведены N экспериментов, в результате которых получены следующие значения величин X и Y:
| X | x1,x2,............,xN |
| Y | y1,y2,............,yN |
Нанесём результаты экспериментов на координатную плоскость в виде точек, координатами которых является xi , y i , получим корреляционное поле
Рис.3. Корреляционное поле.