Экономическое моделирование составления портфеля инвестиций (стр. 3 из 13)

p_i – соответствующие вероятности реализации величины доходности.

- дисперсии значения доходности C²_ko, определяемой по формуле:

C²_ko=∑(A_i-M(A_i))², (2)

где A_i – диапазон значений доходности;

p_i – соответствующие вероятности реализации величины доходности;

M(A) – математическое (среднее) ожидание значения доходности.

- среднеквадратичного отклонения доходности C_ko, определяемого по формуле:

C_ko = √C²_ko, (3)

где C²_ko – дисперсия значения доходности.

В общем случае, когда значения математического ожидания уровней доходности по сравниваемым ценным бумагам не совпадают, инвестор должен принять волевое решение по выбору направления инвестиций с учетом различия между математическими ожиданиями по каждому виду ценных бумаг и соответствующими значениями вариаций по каждому варианту, или провести оценку другим методом, например с применением β – коэффициентов или экспертных методов.

Показатель β используется при оценке рискованности вложений в ценные бумаги в сравнении с систематическим риском всего фондового рынка. Расчет показателя осуществляется по формуле:

β=(K_p·C_ko)/C_кор, (4)

где К_р – корреляция между доходностью конкретной ценной бумаги и средним уровнем доходности ценных бумаг на рынке;

С_ко – среднеквадратичное отклонение доходности по конкретной ценной бумаге;

С_кор – среднеквадратичное отклонение доходности по рынку ценных бумаг в целом.

Уровень риска отдельных ценных бумаг определяется на основе следующих значений:

β = 1 – средний уровень риска,

β >1 – высокий уровень риска,

β < 1 – низкий уровень риска.

Количественные аспекты портфельного анализа

Портфель – это просто совокупность активов. С каждым активом портфеля связаны средняя доходность и дисперсия доходности. Кроме того, с каждой парой доходностей связан коэффициент корреляции. Коэффициентом корреляции доходностей измеряют степень линейной корреляции между двумя доходностями. Коэффициент корреляции должен находиться в пределах от -1 до +1. В любом из крайних случаев мы имеем полную корреляцию. В случае с полной корреляцией флуктуации доходности одного актива полностью определяются флуктуациями доходности другого актива. Если коэффициент корреляции равен +1, то говорят, что доходности полностью положительно коррелированы, если он равен -1, то говорят, что доходности полностью отрицательно коррелированы. Естественно, что доходность любого актива полностью положительно коррелирована сама с собой.

Если корреляция доходностей не совпадает с -1 или +1, то говорят, что доходности не полностью (частично) коррелированы. Если коэффициент корреляции находится посредине между двумя крайними значениями, т.е. он равен нулю, то говорят, что доходности не коррелированы..

Как и в случае со средними и дисперсиями, коэффициенты корреляции вычисляются с помощью электронных таблиц, статистических пакетов и специальных калькуляторов. Для подсчета коэффициента корреляции необходимо сначала вычислить ковариацию между двумя доходностями. Ковариация между доходностями актива i и актива j обозначается через σ_i,j. Формула для вычисления ковариация σ_i,j дается соотношением:

σ_i,j=∑(r_i(t)-μ_i)r_j(t)-μ_j)/n-1, (5)

где r_i и r_j - доходность актива i и j;

μ_i и μ_j- среднее величин r_i и r_j;

n – число активов.

Коэффициент корреляции ſ_i,j рассчитывается через ковариацию и стандартные отклонения по формуле:

ſ_i,j= σ_i,j / σ_i, σ_,j, (6)

где σ_i,j - ковариация между доходностями актива i и актива j;

σ_i,, σ_,j - стандартные отклонения i и j.

Обозначим доходность портфеля через r_p, среднюю доходность портфеля через μ_r и дисперсию доходности портфеля через σ²_p. Обозначим вес актива через w_i и будем считать, что всего в портфель включено n активов. Сумма используемых весов должна равняться единице (100%). (Если сумма весов меньше единицы, то это означает, что часть средств оставалась без дела).

Доходность портфеля r_p рассчитывается по формуле:

r_p=∑w_ir_i, (7)

где w_i - вес актива i;

r_i - доходность актива i.

Средняя доходность портфеля μ_r рассчитывается по формуле:

μ_p=∑w_iμ_i, (8)

где w_i - вес актива i;

μ_ij- среднее величины r_i.

Дисперсия доходности портфеля σ²_p рассчитывается по формуле:

σ²_p=∑∑w_iw_j σ_i, σ_,j ſ_i,j, (9)

где w_i и w_j - веса активов i и j;

σ_i,, σ_,j - стандартные отклонения i и j;

ſ_i,j - коэффициент корреляции.

Доходность портфеля r_p и средняя доходность портфеля μ_r легко интерпретируются. Обе эти величины являются взвешенными средними соответствующих характеристик для отдельных активов. Более сложно воспринять смысл дисперсии доходности σ²_p. Она является суммой произведений (каждое из которых состоит из пяти сомножителей). Первые два сомножителя в произведении являются весами, вторые два – стандартными отклонениями, а последний сомножитель представляет собой коэффициент корреляции. Эти произведения подсчитываются для любой пары i и j. Всего под знаками суммирования должно быть п • п или n² таких произведений.

Формулу (9) можно упростить (при этом уменьшится объем необходимых вычислений), если учесть два обстоятельства. Во-первых, при совпадении i и j произведение w_iw_j σ_i,σ_,j ſ_i,j превращается в w_i² σ_i². Это происходит в силу того, что корреляция любой доходности с самой собой, по определению, равна единице. Во-вторых, при разных i и j произведения w_iw_j σ_i, σ_,j ſ_i,j и w_jw_i σ_j, σ_,i ſ_j,i равны между собой и их можно один раз включить в сумму с удвоением коэффициента. Имея это в виду, можно переписать формулу (9) в виде формулы (10):

σ²_p=∑w²_iσ²_i,+2∑∑w_iw_j σ_i, σ_,j ſ_ij, (10)

где w_i и w_j - веса активов i и j;

σ_i,, σ_,j - стандартные отклонения i и j;

ſ_i,j - коэффициент корреляции.

Наиболее экономичная запись дисперсии портфеля получается с помощью матричных обозначений. Матричную форму также легче всего реализовать в Excel для больших портфелей. В таком представлении матрицу, содержащую элемент σ_i,j (ковариация между доходностями активов i и j) на пересечении i–й строки и j-го столбца, можно назвать ковариационной матрицей.

σ₁₁ σ₁₂ σ₁₃ σ_14…. σ_1N

S= ……………………..

σ_,N1 σ_N2 σ_,N3 σ_{N3 …} σ_,NN

В этом случае дисперсия портфеля активов описывается формулой:

σ²_p = Xт * S * X , (11)

где Х – вектор-столбец долей активов i и j

Xт – транспонированный вектор-строка долей активов i и j

Нерасположенность к риску и портфельный анализ

Основным постулатом финансовой теории является то обстоятельство, что рационально действующий субъект не расположен к риску. Иными словами, рациональные люди (с «правильными» функциями полезности) не любят рисковать. Однако не все субъекты одинаково не расположены к риску. Некоторые совсем не расположены к риску и совсем не хотят рисковать, чтобы получить доходность выше средней. Другие не расположены к риску в умеренной степени и готовы подвергать себя риску для получения доходности выше средней. Первых мы будем называть консервативными в финансовом отношении, а вторых — агрессивными. Теперь мы рассмотрим такое отношение к риску в более формальном плане и сделаем это в контексте портфельной теории.

Во-первых, предположим, что нам удалось построить множество портфелей, которые для каждого уровня доходности характеризуются наименьшим риском. Это множество портфелей называется множеством минимальной дисперсии. Можно показать, что множество минимальной дисперсии для портфелей имеет квадратичную форму и на графике выглядит как парабола. Эффективное множество портфелей является подмножеством множества минимальной дисперсии, которое лежит выше точки портфеля с минимальной дисперсией (minimum variance portfolio (MVP), рисунок 1. Эти портфели построены и координатах «риск-доходность» (на вертикальной оси откладывается средняя доходность, а на горизонтальной – стандартное отклонение). В каждый заданный момент времени получаемое эффективное множество портфелей может рассматриваться как отражение текущего состояния экономики.

Рисунок 1 – Множество минимальной Дисперсии

В качестве примера эффективное множество портфелей представлено на рисунке 2.

Рисунок 2 – Эффективное множество портфелей

Моделирование инвестиционного портфеля

Разработка инвестиционной стратегии всегда основывается на анализе доходности от вложения средств, времени инвестирования и возникающих при этом рисков. Эти факторы во взаимосвязи определяют эффективность вложений в тот или иной инструмент фондового рынка. Принятая инвестиционная стратегия определяет тактику вложения средств: сколько средств и в какие ценные бумаги следует инвестировать и, следовательно, всегда является основой операций с ценными бумагами.