Припущення щодо поведінки інвесторів. Відповідно до моделі Марковіца існують наступні припущення:
1) інвестор розглядає кожну інвестицію як можливий розподіл очікуваних прибутків за період володіння цінними паперами;
2) інвестори намагаються максимально збільшити очікуваний доход за один період, тому в цілому зменшення доходу може уповільнюватися;
3) інвестори оцінюють ризик за портфелем на основі мінливості очікуваних доходів;
4) інвестори приймають рішення на основі очікуваних доходів і ризику.
При певному рівні ризику інвестори надають перевагу більшим доходам перед меншими. Так само при даному рівні очікуваних доходів інвестор надає перевагу меншому ризику перед більшим. При таких припущеннях окремі цінні папери або портфель цінних паперів вважаються ефективними, якщо ніякі інші цінні папери або портфель цінних паперів не дадуть вищого очікуваного доходу при такому ж (або меншому) рівні ризику.
Очікувана норма прибутку за портфелем цінних паперів – це середнє значення очікуваних норм прибутку за окремими цінними паперами у портфелі:
,
де Wi – процент акції у портфелі цінних паперів;
Rі – очікувана норма прибутку за акцією;
n – кількість цінних паперів у портфелі.
Стандартне відхилення доходів за окремими акціями – це корінь квадратний від дисперсії. Дисперсія або стандартне відхилення визначається відхиленням можливих норм прибутку:
,
де Ri – очікувана норма прибутку за акцією;
E(Ri) – можлива норма прибутку за акцією;
Рі – ймовірність можливої норми прибутку Ri.
Отже, стандартне відхилення:
.
Коваріація – це величина, яка показує, до якої степені дві змінні разом змінюються в часі. Позитивна коваріація означає, що норми прибутку двох інвестицій мають тенденцію змінюватися в одному напрямі за певний час. Від’ємна – що норми прибутку двох інвестицій мають тенденцію змінюватися в різних напрямах за певний період часу. Так, для двох акцій (i та j) коваріація норм прибутку визначається як:
Для щомісячних доходів ця формула матиме наступний вигляд:
Щоб визначити очікувані доходи для двох акцій (i та j) беремо арифметичне значення щомісячних доходів:
Коефіцієнт кореляції змінюється в межах від –1 до 1. На кореляцію впливає дисперсія доходів за двома окремими акціями. Щоб обчислити кореляцію між двома акціями (i та j) або іншими інвестиціями, потрібно обчислити наступні математичні значення:
1) дисперсію для доходу кожної акції;
2) стандартне відхилення для доходу кожної акції;
3) коваріацію між двома доходами цих акцій.
Коефіцієнт кореляції визначається за наступною формулою:
,
де dі – стандартне відхилення для акції і;
dj – стандартне відхилення для акції j.
Якщо коефіцієнт кореляції більше 0, то доходи двох акцій змінюються разом лінійним способом, якщо коефіцієнт кореляції має негативне відхилення, то норма прибутку за однією акцією буде вища середнього значення, а за іншою – нижча від середнього значення на певну величину.
Формула стандартного відхилення портфеля:
,
де Sp – стандартне відхилення для портфеля між акціями (i та j);
W – пропорція фондів акцій (і) та акцій (j) у портфелі;
Rij – коефіцієнт кореляції доходів за фондами (і) та (j).
Формула для обчислення стандартного відхилення портфеля з більшою кількістю фондів:
,
де dpart – стандартне відхилення портфеля;
Wі – процентне співвідношення акцій (і) у портфелі;
d2і – дисперсія і;
COVij – коваріація між доходами за акціями.
Теорія Марковіца веде до створення ефективного портфеля цінних паперів. Під терміном «ефективний» Марковіц розуміє портфель, який має найбільш очікуваний прибуток при даному рівні ризику.
Якщо характеристики портфелів розміщені на лінії границі ефективності, то вони ефективні. Портфелі, характеристики яких розміщені під лінією границі ефективності, є менш ефективними.
Техніка створення ефективних портфелів Марковіца з великої кількості акцій вимагає досить громіздких обчислень. Для портфеля з двох цінних паперів потрібно провести дванадцять окремих обчислень коваріації, для портфеля з п’ятдесяти цінних паперів обчислюють 1225 коваріацій, для ста цінних паперів – 4950 коваріацій. Ці обчислення проводять за допомогою комп’ютера.
Оцінка ефективності портфеля цінних паперів за критерієм Трейнора. Аналіз та вибір цінних паперів для портфеля забирає багато часу і коштів, тому окремий вкладник або інвестиційна компанія повинні визначити, чи варто інвестувати гроші в цей портфель. Основні вимоги до менеджера за портфелем цінних паперів:
– можливості одержувати доходи вищі за середні для даного класу ризиків;
– можливість повністю урізноманітнити портфель для уникнення несистематичного ризику.
Рівень урізноманітнення можна визначити обчисленням кореляції між доходом за власним і ринковим портфелем.
Тривалий час інвестори оцінювали ефективність портфеля майже повністю на основі норми прибутку. Вони усвідомлювали наявність ризику, але не знали, як його визначити кількісно. Досягнення теорії портфеля на початку 60-х років показали, як оцінювати та вимірювати ризики при мінливих доходах, бо не було величини, яка б об’єднувала дохід і ризик. Ці два фактори розглядали окремо, групуючи портфелі у класи з однаковим ризиком на основі мінливості доходів, а потім порівнювали норми прибутку за різними портфелями в межах одного класу.
Трейнор розробив перший складений критерій, який врахував ризик. Він вивів два компоненти ризику: перший – це ризик, який виникає через особливі коливання в цінних паперах портфеля. Для його визначення він побудував характеристичну лінію, яка показує відношення між нормою прибутку за власним портфелем за період часу і нормою прибутку за ринковим портфелем. Трейнор відзначив, що нахил характеристичної лінії визначає відносну несталість доходів за портфелем щодо доходів сукупного ринку або коефіцієнт портфеля. Чим більший нахил, тим більш чутливий портфель до ринкових доходів і тим більший ринковий ризик.
Відхилення від характеристичної лінії показує специфічні доходи за портфелем щодо ринку. Ці різниці виявляються від доходів за окремими акціями у портфелі. У повністю урізноманітненому портфелі ці специфічні доходи за окремими акціями можуть скасовуватися. Якщо збільшується кореляція портфеля з ринком, специфічний ризик зменшується. Трейнор не був зацікавлений у такій характеристиці портфеля, як урізноманітнення, тому не приділяв достатньої уваги й мірі урізноманітнення.
Трейнор цікавився мірою ефективності, яка могла б використовуватися усіма інвесторами, незалежно від їх ставлення до ризику. Він запропонував безризикові активи, які можна поєднати з різними портфелями для формування прямої ймовірності лінії портфеля. Трейнор показав, що раціональні інвестори завжди будуть віддавати перевагу ймовірності лінії портфеля з більшими нахилами, бо ці лінії помістять інвесторів на вищі щаблі кривої байдужості. Нахил ймовірності лінії портфеля (Т) визначається як:
,
де Ri – середня норма прибутку для портфеля за певний період часу;
RFRf – середня норма прибутку за безризиковими інвестиціях за цей період;
bf – нахил характеристичної лінії портфеля за цей же період (показує відносну несталість доходу за портфелем).
Чим більша величина Ті, тим більший нахил і кращий склад портфеля для всіх інвесторів, незалежно від їх ставлення до ризику. Так як чисельник цього рівняння – це премія за ризик, а знаменник є мірою ризику, то все рівняння показує дохід за портфелем на одиницю виміру ризику. Усі інвестори намагаються збільшити величину Ті. Зауважимо, що змінна ризику визначає систематичний ризик і дає інформацію про урізноманітнення портфеля.
Порівняння величини (Ті) портфеля з величиною (Тm) для ринкового портфеля показує, чи розміщені на графіку характеристики портфеля над безпечною лінією ринку. Обчислити величину Тm для загального ринку можна наступним чином:
.
У цьому рівнянні bm – це показник ринку, який характеризує нахил лінії фондової біржі. Таким чином, характеристики портфеля з величиною (Т) більшою ніж Тm ринкового портфеля не розміщуються вище безперечної лінії ризику. Отже, даний портфель добре пристосований до ризику.
Оцінка ефективності портфеля цінних паперів за критерієм Шарпа. Шарп вивів складений критерій визначення ефективності взаємних фондів. Ефективність потрфеля за Шарпом визначається як:
,
де Si – критерій ефективності портфеля;
Ri – середня норма прибутку для портфеля за певний час;
RFR – середня норма прибутку за без ризиковими інвестиціями за цей же період;
SDi – стандартне відхилення норми прибутку для портфеля за цей же період.
Критерій Шарпа подібний до критерію Трейнора і визначається як загальний ризик (з урахуванням стандартного відхилення), а не тільки як систематичний ризик (з урахуванням коефіцієнта). Так як чисельник цього рівняння визначає премію за ризик портфеля, то критерій є премією за ризик на одиницю виміру загального ризику.
Критерій Шарпа оцінює менеджера за нормою прибутку і урізноманітнення портфеля. (Урізноманітнення (диверсифікація) портфеля – бажання зменшити ризик втрати капіталу і доходу). Для повного урізноманітнення портфеля критерії Трейнора і Шарпа дадуть однакові результати, оскільки повна дисперсія повністю урізноманітненого портфеля є водночас систематичною.
Ці два критерії доповнюють один одного. Якщо ви маєте справу з групою добре урізноманітнених портфелів, результати за цими двома критеріями будуть однаковими.