Эконометрика 5

Вариант 1

Задача 1.Бюджетное обследование 10 случайным образом отобранных семей дало следующие результаты:

Номер семьи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Реальный доход семьи (т.руб.)	5.0	4.5	4.2	7.5	3.5	6.2	7.7	6.0	5.9	3.8
Реальный расход семьи на продовольственные товары (т.руб.)	3.0	2.6	1.5	3.4	1.8	5.0	5.2	4.3	3.6	2.1

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Определите параметры уравнений парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии b. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.

С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость коэффициента регрессии b и уравнения регрессии в целом. Сделайте выводы.

С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения результативного признака, если факторный признак увеличится на 5% от своего среднего значения.

Задача 2. Изучается влияние изменения объема промышленного производства и среднедушевого дохода на товарооборот. Для этого по 10 регионам РФ были получены следующие данные:

№ п/п	Розничный товарооборот (в % к пред. году)	Объем промышленного производства (в % к пред. году)	Среднедушевой денежный доход (в % к пред. году)
1	89	85	88
2	75	70	85
3	82	86	81
4	84	80	87
5	91	97	87
6	92	79	110
7	89	92	102
8	107	99	105
9	89	83	94
10	87	77	92

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции, сделайте выводы.

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится одна из версий макроэкономической модели экономики США:

Функция потребления: Ct=a0 +a1Ct-1+a2Yt +u1

Функция инвестиций: It= b0+b1Yt+b2rt+u2

Уравнение денежного рынка: rt=c0+c1Yt+c2Mt+c3rt-1+u3

Тождество дохода: Yt=Ct+It+Gt, где Ct, Ct-1- расходы на конечное потребление в годы t и t-1 соответственно; Yt – валовой национальный доход в году t; It- валовые инвестиций в году t; rt-1 – процентные ставки в год t и t-1 соответственно; Mt- денежная масса в году t; Gt – государственные расходы году t; u1, u2, u3 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Укажите, каким методом вы будете определять структурные параметры каждого уравнения, кратко опишите методику расчета.

Вариант 2.

Задача 1. Имеются следующие данные о потреблении электроэнергии владельцами индивидуальных домов:

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число совместно проживающих членов семьи	2	3	3	4	4	5	5	6	7	7
Годовое потребление электроэнергии, тыс.квт.-час.	15	14	16	19	20	22	23	25	24	22

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	-0,9	1,3	2	0,6	0,7	0,9	1,1	1,9	2,6	1,3
Оборот капитала, млрд долл. США,x1t	12,7	21,4	13,5	13,4	4,2	15	15,5	17,9	16,5	20
Использованный капитал, млрд долл. США, x2t	11,9	13,7	11,6	14,2	12,8	15	13	5,8	6	2,5

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель:

Функция потребления: Ct=a0 +a1Yt+a2Yt-1 +u1

Функция инвестиций: It= b0+b1Yt+u2

Тождество дохода: Yt=Ct+It+Gt,

где Ct, - расходы на конечное потребление в период t; Yt, Yt-1 – доход в годы t и t-1; It- валовые инвестиций в году t; rt-1 – процентные ставки в год t и t-1 соответственно; Mt- денежная масса в году t; Gt – государственные расходы году t; u1, u2 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 3.

Задача 1.Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг – страхования на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке 10 случаев пожара анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром, от расстояния до ближайшей пожарной станции:

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Общая сумма ущерба (тыс.руб.)	20	15	10	18	15	9	10	12	14	19
Расстояние до ближайшей пожарной станции (км)	3,6	1,7	2,9	3,0	2,2	3,2	3,6	3,9	4,2	4,8

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2. Имеются данные по 10 предприятиям:

№	Производительность труда, млн. руб. на 1 рабочего	Энерговооруженность квт час на 1 рабочего	Доля рабочих ручного труда в общей численности рабочих
1	9,8	4,8	40
2	6,7	2,6	59
3	12,4	7,0	38
4	6,9	3,8	57
5	11,8	5,5	31
6	7,3	3,0	56
7	8,4	3,4	45
8	10,7	5,2	35
9	11,1	5,4	32
10	7,3	2,9	54

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель:

Функция денежного рынка: Rt=a0 +a1Yt+a2Mt +u1

Функция товарного рынка: Yt= b0+b1Rt+ b2Gt +u2

Функция инвестиций: It= c0+c1Rt + u3, где Rt – процентная ставка в период t; Yt – реальный валовый национальный доход в период t; It- внутренние инвестиции в году t; Mt- денежная масса в период t; Gt – государственные расходы году t; u1, u2, u3– случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 4.

Задача 1.Имеются данные о рекламной компании в магазинах с демонстрацией антисептических качеств своего нового моющего средства. Через 10 недель компания решила проанализировать эффективность этого вида рекламы, сопоставив еженедельные:

Объем продаж, тыс. руб.	72	76	78	70	68	80	79	78	69	71
Расходы на рекламу, тыс. руб.	5	8	6	5	3	9	8	6	7	4

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2. Получены данные для предприятий машиностроения:

№	Рентабельность (прибыль в $ стоимость основных и оборотных фондов)	Произв. труда, млн. руб. на 1 работника	Средний возраст производств. оборудования, лет
1	7	7	20
2	8	10	19
3	7	9	21
4	9	11	17
5	9	11	16
6	8	11	18
7	11	17	15
8	11	14	14
9	16	13	10
10	14	12	13

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая промышленное производство:

ID=a0 +a1Wt+a2Yt + a3IDt-1 +u1

Wt= b0+b1IDt+ b2UNt +u2

Yt=c0+c1Wt+c2t+u3,

где IDt, IDt-1 – индекс дефлятор валового внутреннего продукта в периоды t и t-1; Wt- средняя часовая зарплата в промышленности в период t, Yt –cреднечасовой реальный выпуск промышленной продукции в период t; UNt – уровень безработицы в период t; u1, u2, u3, – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 5

Задача 1.Имеются данные по группам предприятий за отчетный период о зависимости себестоимости единицы продукции от величины выпуска продукции:

Себестоимость, тыс. руб.	2	3	4	5	6	7	8	6	8	9
Выпуск продукции, тыс. шт.	1.9	1.7	1.8	1.6	1.4	1.6	1.7	1.5	1.3	1.9

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2. Получены данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, а также о доходности капитала компании:

№	Цена акции, $ США	Доходность дивидендов, %	Уровень дивидендов, %
1	25	15.2	2.6
2	20	13.9	2.1
3	15	15.8	1.5
4	34	12.8	3.1
5	20	6.9	2.5
6	33	14.6	3.1
7	28	15.4	2.9
8	30	17.3	2.8
9	23	13.7	2.4
10	24	12.7	2.4

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию:

Qt=a0 +a1Yt +u1

Ct= b0+b1Yt +u2

It=c0+c1(Yt-1-Kt-1)+u3

Yt=Ct+It

Kt=Kt-1+It

где Qt –реализованная продукция в период t; Yt, Yt-1 –валовая добавленная стоимость в периоды t и t-1; It – валовые инвестиции в регион в году t; Kt, Kt-1 – реальный запас капитала в регионе на конец периода t и t-1; u1, u2, u3, – случайные ошибки

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 6

Задача 1.Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей Х (тыс. км) и стоимостью технического обслуживания У (тыс. руб.). Для выяснения этой связи было отобрано 10 автомобилей:

Х	6	7	8	9	10	12	9	8	12	15
У	13	16	15	20	19	14	10	9	11	18

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2. Для анализа эффективности работы предприятий машиностроения были получены следующие данные:

№	Рентабельность (прибыль в $)	Производит. труда, млн. руб. на 1 раб.	Средний возраст производственного оборудования
1	7	7	20
2	8	10	19
3	7	9	21
4	9	11	17
5	9	11	16
6	8	11	18
7	11	17	15
8	11	14	14
9	16	13	10
10	15	18	10

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель спроса и предложения кейнсианского типа:

QtS=a0 +a1Pt + a2Pt-1 +u1 (предложение)

Qtd= b0+b1Pt + b2Pt + b3Yt +u2 (спрос)

QtS=Qtd (тождество)

где Qtd –спрос на товар в период t; QtS предложение товара в момент t; Рt –цена товара в моменты t и t-1; Уt –доход в момент t; u1, u2– случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 7

Задача 1.

Номер семьи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Реальный доход семьи (тыс. руб.)	5.0	4.5	4.2	7.5	3.5	6.2	7.7	6.0	5.9	3.8
Реальный расход семьи на продовольственные товары (тыс. руб)	3.0	2.6	1.5	3.4	1.8	5.0	5.2	4.3	3.6	2.1

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.Изучается влияние изменения объема промышленного производства и среднедушевого дохода на товарооборот:

№	Розничный товарооборот (в % к предыдущему году)	Объем промышл. производства (в % к предыд. году)	Среднедушевой денежный доход (в % к предыд. году)
1	92	95	86
2	80	73	89
3	86	76	86
4	94	86	89
5	98	99	88
6	92	82	108
7	87	96	101
8	103	96	103
9	98	89	99
10	96	83	96

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая денежный рынок:

Rt=a1 +b11Mt + b12Yt +u1

Ct= a2+b21Rt + b22It +u2, где Rt –процентная ставка в период t; Yt –ВВП в период t; М – денежная масса, It – внутренние инвестиции году t; u1, u2, u3, – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 8

Задача 1.

Номер семьи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число совместно проживающих членов семьи, чел.	3	3	2	4	4	4	5	6	7	7
Годовое потребление электроэнергии, тыс. кв.-час	15	12	18	21	20	24	26	29	31	28

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2. По выборке из 10 почтовых отправлений изучается зависимость стоимости отправки корреспонденции экспресс-почтой от веса конверта и дальности перевозки:

№	Стоимость доставки, тыс. руб.	Вес конверта, г	Дальность перевозки, тыс. км
1	26	590	0,5
2	39	320	1,5
3	80	440	2
4	92	660	1,6
5	44	75	2,8
6	15	70	0,8
7	145	650	2,4
8	19	450	0,5
9	10	60	1
10	140	750	1,8

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая экономику:

Ct=a0 +a1Yt + a2Jt +u1

Jt= b0+b1Yt-1 +u2

Tt=c0+c1Yt+u3

Yt=Ct+Jt+Gt, где Ct –совокупное потребление в период t; Yt, Yt-1 –совокупный доход в периоды t и t-1; Jt – инвестиции в период t; Тt налоги в период t; G – государственные доходы в период t; u1, u2, u3 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 9.

Задача 1.

Номер семьи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Реальный доход семьи (т.руб.)	6.0	3	5	6	4	7	7	7	6	4
Реальный расход семьи на продовольственные товары (т.руб.)	3,5	3	2	4	1.8	2,2	6,2	3,3	3.6	2,3

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2

№	Производит. труда, млн. руб. на 1 рабочего	Энерговооруженность квт-час на 1 рабочего	Доля рабочих ручного труда в общей числ. рабочих (%)
1	9,8	4,8	40
2	6,7	2,8	59
3	12,4	7	38
4	6,9	3,8	57
5	11,8	5,5	31
6	7,3	3	56
7	8,4	3,4	45
8	10,7	5,2	35
9	11,1	5,4	32
10	7,3	2,9	54

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию и предложение:

Qt=a0 +a1Pt +u1

Ct= b0+b1Pt +u2

Qt=Ct, где Qt –спрос на товар в период t; Сt – предложение количества товара; Рt –цена, по которой заключаются сделки; u1, u2 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 10.

Задача 1.

Показатель	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потреблено материалов на единицу продукции, кг	9	6	5	4	3,7	3,5	6	7	3,5	3,6
Выпуск продукции, тыс.ед.	100	200	300	400	500	600	700	150	120	250

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2. Имеются данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, а также о доходности капитала компании:

№	Цена акции, $США	Доходность дивидендов,%	Уровень дивидендов,%
1	25	15,2	2,6
2	20	13,9	2,1
3	15	15,8	1,5
4	34	12,9	3,1
5	20	6,9	2,5
6	33	14,6	3,1
7	28	15,4	2,9
8	30	17,3	2,8
9	23	13,7	2,4
10	24	12,7	2,4

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию:

Ct=a0 +a1St + a3Pt +u1

St= b0+b1Rt + b2Rt-1 + b3t +u2

Rt=St+Pt, где Ct –личное потребление в период t; St зарплата в период t; Рt – прибыль в году t; Rt, Rt-1 - общий доход в периоды t и t-1; u1, u2– случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 11.

Задача 1. Бюджетное обследование 10 случайным образом отобранных семей дало следующие результаты:

Номер семьи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Реальный доход семьи (т.руб.)	6.0	3,4	5	6	4	7,4	7.7	7	6	4
Реальный расход семьи на продовольственные товары (т.руб.)	3,5	3	2	4	1.8	2,2	6,2	3,3	3.6	2,3

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

В таблице заданы 3 временных ряда: первый из них представляет нарастающую прибыль по кварталам коммерческого банка yt, второй и третий ряд – процентные ставки этого банка по кредитованию юридических лиц x1t и депозитным вкладам x2t за этот же период:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	3	11	10	11	15	17	21	25	23	19
x1t	18	14	33	37	40	42	41	49	56	48
x2t	20	22	14	26	25	32	35	34	39	45

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию:

Ct=a0 +a1Dt +u1

It= b0+b1Yt + b2Yt-1 +u2

Yt=Dt+Tt

Dt=Ct+It+Gt, где Ct –расходы на потребление в период t; Yt, Yt-1 –чистый национальный продукт в периоды t и t-1; It инвестиции в году t; Dt –чистый национальный доход; Т- косвенные налоги; G – государственные расходы; u1, u2– случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант12.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %, у	6,9	8,7	6,4	8,4	6,1	9,4	11	6,4	9,3	8,2
Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс. руб., х	289	334	300	343	356	289	341	327	357	352

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	16	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x1t	30	34	40	38	22	48	50	52	53	49
x2t	25	27	30	31	35	27	42	41	43	42

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию:

Ct= a1+b11Yt +u1

It=a2+ b21Yt + b22Yt-1 +u2

Yt=Ct+It+Gt, где Ct –расходы на потребление в период t; Yt, Yt-1 –доход в периоды t и t-1; It – валовые инвестиции в году t; G- государственные расходы; u1, u2 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 13.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб.,у	240	226	221	226	220	250	237	232	215	220
Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в мес., тыс. руб.,х	178	202	197	201	189	302	215	166	199	180

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	11	15	10	16	22	17	26	28	33	34
x1t	88	85	78	86	81	80	83	78	76	69
x2t	77	73	75	67	66	63	67	63	44	60

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию:

Сt=a0 +a1Yt + a2Сt-1 +u1 функция потребления

rt= b0+b1Yt + b2Mt + b3rt-1 +u2 функция инвестиций

It=c0+c1(Yt-1-Kt-1)+u3

Yt=Ct+It, где Qt –реализованная продукция в период t; Yt, Yt-1 –валовая добавленная стоимость в периоды t и t-1; It – валовые инвестиции в году t; Kt,– реальный запас капитала на конец периода t и t-1; К- запас капитала; u1, u2, u3, – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 14.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Средняя зарплата и выплаты социального характера, тыс. руб., у	615	727	584	753	707	657	654	693	704	780
Прожиточный минимум в среднем на душу населения, тыс. руб.,х	289	338	287	324	307	304	307	290	314	304

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	43	47	50	48	67	57	61	59	65	54
x1t	30	34	41	36	39	44	45	41	46	47
x2t	28	24	26	29	33	31	24	33	35	34

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию:

Ct=a0 +a1Yt + a2Tt +u1

It=c0+c1Yt+ c2Kt-1 +u2

Yt=Ct+It

где Сt –потребление в период t; Yt, Yt-1 –доход в периоды t и t-1; It – валовые инвестиции в году t; Kt-1 –запас капитала; u1, u2, u3, – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 15.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %, у	796	672	545	560	554	830	780	705	695	654
Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс. руб., х	304	411	310	342	364	341	304	314	290	307

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	15	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x1t	32	34	41	38	42	48	50	52	54	51
x2t	32	28	26	24	25	23	19	27	22	20

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель протекционизма Сальватора:

Mt=a0 +a1Nt + a2St + a3Et-1 + a4 Mt-1+ u1

Nt= b0+b1Mt + b2St + b3Yt +u2

St=c0+c1Mt+c2St+ c3Xt +u3, где Mt –доля импорта в ВВП; N – общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; St –число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин; Е- фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0- для всех остальных лет; У- реальный ВВП; Х- реальный объем чистого экспорта; u1, u2, u3, – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 16.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	302	360	310	415	452	502	335	416	501	403
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	554	560	545	672	796	777	632	688	833	577

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	70	76	78	76	80	82	89	78	88	120
x1t	65	58	63	60	56	53	54	53	51	52

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель денежного рынка:

Rt= b0+b1Mt + b2Yt +u1

Yt=c0+c1Rt + c2It+u2

It=a0+a1Rt +u3

где Rt –процентные ставки в период t; Yt, -ВВП в период t; It – внутренние инвестиции в году t; M –денежная масса; u1, u2, u3, – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 17.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	558	354	342	399	368	462	501	416	355	502
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	705	665	562	831	888	949	584	577	833	688

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	4	12	10	11	15	17	21	25	23	19
x1t	15	20	22	14	25	28	25	28	30	32
x2t	45	38	40	36	38	34	25	28	27	26

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию:

Ct= b0+b1Yt + b2Сt-1 +u1

It=c0+c1rt + c2It-1+u2

rt=a0+a1Yt+a2Mt+u3

Yt=Ct+It+Gt

где Ct –расходы на потребление в период t; Yt, -ВВП в период t; It – инвестиции в году t; r- процентная ставка; M –денежная масса; G- государственные расходы; u1, u2, u3, – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 18.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	596	417	354	526	934	412	525	367	364	336
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	913	1000	606	876	1314	593	754	528	520	539

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	110	88	78	89	82	80	76	78	76	70
x1t	15	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x2t	42	47	50	48	67	57	61	59	65	54

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию:

Ct= b0+b1Rt +b2Ct-1 +u1

It=c0+c1(Rt-Rt-1)+u2

Rt=Ct+It, где Ct –расходы на потребление в период t; Rt, Rt-1 –доход в периоды t и t-1; It –инвестиции в году t; u1, u2 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 19.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	409	452	367	328	460	380	439	344	401	514
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	540	682	537	589	626	521	626	521	658	746

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	16	14	33	37	40	42	41	49	56	48
x1t	28	34	40	38	22	48	50	52	53	49
x2t	87	85	78	86	81	80	83	78	76	69

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель мультипликатора-акселератора:

Ct= b0+b1Rt + b2Ct-1 +u1

It=c0+c1(Rt -Rt-1)+u2

Rt=Ct+It

где Rt, Rt-1 –доходв периоды t и t-1; It – инвестиции в году t; u1, u2 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 20.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	302	360	310	415	452	502	335	416	501	403
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	554	560	545	672	796	777	632	688	833	577

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	24	22	15	26	25	32	35	34	39	45
x1t	62	58	63	60	56	53	54	53	51	52
x2t	30	28	26	24	25	23	19	27	22	20

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель Кейнса:

Ct= a1+b11Yt + b12Yt-1 +u1

It=a2+ b21Yt + b22Yt-1 +u2

Yt=Ct+It+Gt

где Ct –расходы на потребление в период t; Yt, Yt-1 –доход в периоды t и t-1; It – валовые инвестиции в году t; G- государственные расходы; u1, u2 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 21.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	408	249	253	580	651	139	322	899	330	446
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	524	371	453	1006	997	217	486	1989	595	1550

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	41	46	49	48	65	55	61	59	65	57
x1t	29	33	32	36	39	43	45	41	46	49
x2t	27	23	30	29	33	30	24	33	35	36

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель мультипликатора-акселератора:

Ct= b0+b1Rt + b2Ct-1 +u1

It=c0+c1(Rt -Rt-1)+u2

Rt=Ct+It

где Rt, Rt-1 –доходв периоды t и t-1; It – инвестиции в году t; u1, u2 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 22.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	642	542	504	861	707	557	446	330	890	300
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	937	761	767	1720	1735	1000	1500	600	1900	486

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	0,9	1,7	0,7	1,7	2,6	1,3	4,1	1,6	6,9	0,4
Оборот капитала, млрд долл. США,x1t	31,3	13,4	4,5	10	20	15	137,1	17,9	165,4	2,0
Использованный капитал, млрд долл. США, x2t	18,9	13,7	18,5	4,8	21,8	5,8	99	20,1	60,6	1,4

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится одна из версий макроэкономической модели экономики США:

Функция потребления: Ct=a0 +a1Ct-1+a2Yt +u1

Функция инвестиций: It= b0+b1Yt+b2rt+u2

Уравнение денежного рынка: rt=c0+c1Yt+c2Mt+c3rt-1+u3

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 23.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	461	524	298	351	624	584	425	277	321	573
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	632	738	515	640	942	888	704	603	439	985

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2.В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	1,3	1,9	1,9	1,4	0,4	0,8	1,8	0,9	1,1	1,9
Оборот капитала, млрд долл. США,x1t	6,8	27,1	13,4	9,8	19,5	6,8	27	12,4	17,7	12,7
Использованный капитал, млрд долл. США, x2t	8	18,9	13,2	12,6	12,2	3,2	13,0	6,9	15,0	11,9

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель:

Функция потребления: Ct=a0 +a1Yt+a2Yt-1 +u1

Функция инвестиций: It= b0+b1Yt+u2

Тождество дохода: Yt=Ct+It+Gt,

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 24.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	863	497	588	576	573	321	270	400	580	600
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	2000	830	760	735	985	440	600	700	880	940

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2. В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	0,9	1,7	0,7	1,7	2,6	1,3	4,1	1,6	6,9	0,4
Числ. служащих, тыс. чел., x1t	43	64,7	24	50,2	106	96,6	347	85,6	745	4,1
Рыночная капитализация компании, млрд. долл. США, x2t	40,9	40,5	38,9	38,5	37,3	26,5	37	36,8	36,3	35,3

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель:

Функция денежного рынка: Rt=a0 +a1Yt+a2Mt +u1

Функция товарного рынка: Yt= b0+b1Rt+ b2Gt +u2

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 25.

Задача 1.

Район	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс. руб., у	461	524	298	351	624	584	425	277	321	573
Среднемесячная начисленная заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., х	912	809	748	847	1087	1074	1008	682	697	1250

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Задача 2. В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	-0,9	1,3	2	0,6	0,7	0,9	1,1	1,9	2,6	1,3
Оборот капитала, млрд долл. США,x1t	12,7	21,4	13,5	13,4	4,2	15	15,5	17,9	16,5	20
Использованный капитал, млрд долл. США, x2t	11,9	13,7	11,6	14,2	12,8	15	13	5,8	6	2,5

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель, характеризующая спрос на продукцию:

Qt=a0 +a1Yt +u1

Ct= b0+b1Yt +u2

It=c0+c1(Yt-1-Kt-1)+u3

Yt=Ct+It

Kt=Kt-1+It

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 26.

Задача 1. Бюджетное обследование 10 случайным образом отобранных семей дало следующие результаты:

Номер семьи	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Реальный доход семьи (т.руб.)	6.0	3.5	3.2	7.7	3.8	6.8	7.9	6.4	6.2	3.9
Реальный расход семьи на продовольственные товары (т.руб.)	3.0	2.8	1.5	3.6	1.3	5.7	5.8	5.3	4.6	4.1

Постройте поле корреляции результата и фактора и сформулируйте гипотезу о форме связи.

Определите параметры уравнений парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии b.Рассчитайте параметры уравнений степенной, экспоненциальной, гиперболической парной регрессии.

Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.

С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения расходов на продовольственные товары в предположении, что доходы семьи увеличатся на 5% от своего среднего значения.

Задача 2. В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	1,3	1,9	1,9	1,4	0,4	0,8	1,8	0,9	1,1	1,9
Числ. служащих, тыс. чел., x1t	26,8	42,7	61,8	212	105	33	142	96	140	60
Рыночная капитализация компании, млрд. долл. США, x2t	35,3	35	26,2	33,1	32,7	32,1	30,5	29,8	25,4	29,3

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Рассчитайте частные коэффициенты эластичности

Определите стандартизованные коэффициенты регрессии

Сделайте вывод о силе связи результата с каждым из факторов

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача 3. Ниже приводится макроэкономическая модель Менгеса

Yt=a1 +b11Yt-1 + b12It +u1

It= a2+b21Yt + b22Qt +u2

Ct=a3+b31Yt+ b32Ct-1 + b33Pt +u3

Qt=a4+b41Qt-1+ b42Rt +u4

где Y – национальный доход; С- расходы на личное потребление;Qt –валовая прибыль экономики в период t; It – чистые инвестиции в году t; Рt – индекс стоимости; R- объем продукции промышленности; u1, u2, u3 – случайные ошибки.

проверьте с помощью порядкового условия идентификации, идентифицирована ли данная модель.

Выпишите приведенную форму модели.

Вариант 1 Абузова

Изучается влияние изменения объема промышленного производства и среднедушевого дохода на товарооборот. Для этого по 10 регионам РФ были получены следующие данные:

№ п/п	Розничный товарооборот (в % к пред. году)	Объем промышленного производства (в % к пред. году)	Среднедушевой денежный доход (в % к пред. году)
1	89	85	88
2	75	70	85
3	82	86	81
4	84	80	87
5	91	97	87
6	92	79	110
7	89	92	102
8	107	99	105
9	89	83	94
10	87	77	92

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 2. Аликина

В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	-0,9	1,3	2	0,6	0,7	0,9	1,1	1,9	2,6	1,3
Оборот капитала, млрд долл. США,x1t	12,7	21,4	13,5	13,4	4,2	15	15,5	17,9	16,5	20
Использованный капитал, млрд долл. США, x2t	11,9	13,7	11,6	14,2	12,8	15	13	5,8	6	2,5

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 3. Бичанова

Имеются данные по 10 предприятиям:

№	Производительность труда, млн. руб. на 1 рабочего	Энерговооруженность квт час на 1 рабочего	Доля рабочих ручного труда в общей численности рабочих
1	9,8	4,8	40
2	6,7	2,6	59
3	12,4	7,0	38
4	6,9	3,8	57
5	11,8	5,5	31
6	7,3	3,0	56
7	8,4	3,4	45
8	10,7	5,2	35
9	11,1	5,4	32
10	7,3	2,9	54

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 4. Будникова

Получены данные для предприятий машиностроения:

№	Рентабельность (прибыль в $ стоимость основных и оборотных фондов)	Произв. труда, млн. руб. на 1 работника	Средний возраст производств. оборудования, лет
1	7	7	20
2	8	10	19
3	7	9	21
4	9	11	17
5	9	11	16
6	8	11	18
7	11	17	15
8	11	14	14
9	16	13	10
10	14	12	13

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 5 Бурова

Получены данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, а также о доходности капитала компании:

№	Цена акции, $ США	Доходность дивидендов, %	Уровень дивидендов, %
1	25	15.2	2.6
2	20	13.9	2.1
3	15	15.8	1.5
4	34	12.8	3.1
5	20	6.9	2.5
6	33	14.6	3.1
7	28	15.4	2.9
8	30	17.3	2.8
9	23	13.7	2.4
10	24	12.7	2.4

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 6 Галкина

Для анализа эффективности работы предприятий машиностроения были получены следующие данные:

№	Рентабельность (прибыль в $)	Производит. труда, млн. руб. на 1 раб.	Средний возраст производственного оборудования
1	7	7	20
2	8	10	19
3	7	9	21
4	9	11	17
5	9	11	16
6	8	11	18
7	11	17	15
8	11	14	14
9	16	13	10
10	15	18	10

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 7 Доронин

Изучается влияние изменения объема промышленного производства и среднедушевого дохода на товарооборот:

№	Розничный товарооборот (в % к предыдущему году)	Объем промышл. производства (в % к предыд. году)	Среднедушевой денежный доход (в % к предыд. году)
1	92	95	86
2	80	73	89
3	86	76	86
4	94	86	89
5	98	99	88
6	92	82	108
7	87	96	101
8	103	96	103
9	98	89	99
10	96	83	96

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 8 Ермолаева

По выборке из 10 почтовых отправлений изучается зависимость стоимости отправки корреспонденции экспресс-почтой от веса конверта и дальности перевозки:

№	Стоимость доставки, тыс. руб.	Вес конверта, г	Дальность перевозки, тыс. км
1	26	590	0,5
2	39	320	1,5
3	80	440	2
4	92	660	1,6
5	44	75	2,8
6	15	70	0,8
7	145	650	2,4
8	19	450	0,5
9	10	60	1
10	140	750	1,8

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 9. Жиляк

№	Производит. труда, млн. руб. на 1 рабочего	Энерговооруженность квт-час на 1 рабочего	Доля рабочих ручного труда в общей числ. рабочих (%)
1	9,8	4,8	40
2	6,7	2,8	59
3	12,4	7	38
4	6,9	3,8	57
5	11,8	5,5	31
6	7,3	3	56
7	8,4	3,4	45
8	10,7	5,2	35
9	11,1	5,4	32
10	7,3	2,9	54

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 10. Злыгостева

Имеются данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, а также о доходности капитала компании:

№	Цена акции, $США	Доходность дивидендов,%	Уровень дивидендов,%
1	25	15,2	2,6
2	20	13,9	2,1
3	15	15,8	1,5
4	34	12,9	3,1
5	20	6,9	2,5
6	33	14,6	3,1
7	28	15,4	2,9
8	30	17,3	2,8
9	23	13,7	2,4
10	24	12,7	2,4

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 11. Князева

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	3	11	10	11	15	17	21	25	23	19
x1t	18	14	33	37	40	42	41	49	56	48
x2t	20	22	14	26	25	32	35	34	39	45

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант12. Кокшаров

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	16	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x1t	30	34	40	38	22	48	50	52	53	49
x2t	25	27	30	31	35	27	42	41	43	42

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 13. Кривощекова

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	11	15	10	16	22	17	26	28	33	34
x1t	88	85	78	86	81	80	83	78	76	69
x2t	77	73	75	67	66	63	67	63	44	60

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 14. Кузьминых

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	43	47	50	48	67	57	61	59	65	54
x1t	30	34	41	36	39	44	45	41	46	47
x2t	28	24	26	29	33	31	24	33	35	34

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 15. Куплянская

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	15	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x1t	32	34	41	38	42	48	50	52	54	51
x2t	32	28	26	24	25	23	19	27	22	20

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 16. Курлина

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	70	76	78	76	80	82	89	78	88	120
x1t	65	58	63	60	56	53	54	53	51	52

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 17. Лотфуллина

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	4	12	10	11	15	17	21	25	23	19
x1t	15	20	22	14	25	28	25	28	30	32
x2t	45	38	40	36	38	34	25	28	27	26

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 18. Микрюкова

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	110	88	78	89	82	80	76	78	76	70
x1t	15	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x2t	42	47	50	48	67	57	61	59	65	54

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 19. Облызалова

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	16	14	33	37	40	42	41	49	56	48
x1t	28	34	40	38	22	48	50	52	53	49
x2t	87	85	78	86	81	80	83	78	76	69

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 20. Поддубная

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	24	22	15	26	25	32	35	34	39	45
x1t	62	58	63	60	56	53	54	53	51	52
x2t	30	28	26	24	25	23	19	27	22	20

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 21. Пономарева

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	41	46	49	48	65	55	61	59	65	57
x1t	29	33	32	36	39	43	45	41	46	49
x2t	27	23	30	29	33	30	24	33	35	36

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 22. Порозкова

В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	0,9	1,7	0,7	1,7	2,6	1,3	4,1	1,6	6,9	0,4
Оборот капитала, млрд долл. США,x1t	31,3	13,4	4,5	10	20	15	137,1	17,9	165,4	2,0
Использованный капитал, млрд долл. США, x2t	18,9	13,7	18,5	4,8	21,8	5,8	99	20,1	60,6	1,4

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 23. Пузикова

В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	1,3	1,9	1,9	1,4	0,4	0,8	1,8	0,9	1,1	1,9
Оборот капитала, млрд долл. США,x1t	6,8	27,1	13,4	9,8	19,5	6,8	27	12,4	17,7	12,7
Использованный капитал, млрд долл. США, x2t	8	18,9	13,2	12,6	12,2	3,2	13,0	6,9	15,0	11,9

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 24. Пучеглазова

Задача 2. В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	0,9	1,7	0,7	1,7	2,6	1,3	4,1	1,6	6,9	0,4
Числ. служащих, тыс. чел., x1t	43	64,7	24	50,2	106	96,6	347	85,6	745	4,1
Рыночная капитализация компании, млрд. долл. США, x2t	40,9	40,5	38,9	38,5	37,3	26,5	37	36,8	36,3	35,3

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 25. Рыкачева

В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	-0,9	1,3	2	0,6	0,7	0,9	1,1	1,9	2,6	1,3
Оборот капитала, млрд долл. США,x1t	12,7	21,4	13,5	13,4	4,2	15	15,5	17,9	16,5	20
Использованный капитал, млрд долл. США, x2t	11,9	13,7	11,6	14,2	12,8	15	13	5,8	6	2,5

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 26. Сайдашева

В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	1,3	1,9	1,9	1,4	0,4	0,8	1,8	0,9	1,1	1,9
Числ. служащих, тыс. чел., x1t	26,8	42,7	61,8	212	105	33	142	96	140	60
Рыночная капитализация компании, млрд. долл. США, x2t	35,3	35	26,2	33,1	32,7	32,1	30,5	29,8	25,4	29,3

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Рассчитайте частные коэффициенты эластичности

Определите стандартизованные коэффициенты регрессии

Сделайте вывод о силе связи результата с каждым из факторов

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 27. Стяжкина

№ п/п	Розничный товарооборот (в % к пред. году)	Объем промышленного производства (в % к пред. году)	Среднедушевой денежный доход (в % к пред. году)
1	89	85	88
2	75	70	85
3	82	86	81
4	84	80	87
5	91	97	87
6	92	79	110
7	89	92	102
8	107	99	105
9	89	83	94
10	87	77	92

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 28. Сырчин

В таблице заданы:

№ набл.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Чистый доход, млрд долл. США,yt	-0,9	1,3	2	0,6	0,7	0,9	1,1	1,9	2,6	1,3
Оборот капитала, млрд долл. США,x1t	12,7	21,4	13,5	13,4	4,2	15	15,5	17,9	16,5	20
Использованный капитал, млрд $. США, x2t	11,9	13,7	11,6	14,2	12,8	15	13	5,8	6	2,5

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 29. Туснина

Имеются данные по 10 предприятиям:

№	Производительность труда, млн. руб. на 1 рабочего	Энерговооруженность квт час на 1 рабочего	Доля рабочих ручного труда в общей численности рабочих
1	9,8	4,8	40
2	6,7	2,6	59
3	12,4	7,0	38
4	6,9	3,8	57
5	11,8	5,5	31
6	7,3	3,0	56
7	8,4	3,4	45
8	10,7	5,2	35
9	11,1	5,4	32
10	7,3	2,9	54

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 30. Хачко

Получены данные для предприятий машиностроения:

№	Рентабельность (прибыль в $ стоимость основных и оборотных фондов)	Произв. труда, млн. руб. на 1 работника	Средний возраст производств. оборудования, лет
1	7	7	20
2	8	10	19
3	7	9	21
4	9	11	17
5	9	11	16
6	8	11	18
7	11	17	15
8	11	14	14
9	16	13	10
10	14	12	13

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Вариант 31 Шадрина

Получены данные о ценах и дивидендах по обыкновенным акциям, а также о доходности капитала компании:

№	Цена акции, $ США	Доходность дивидендов, %	Уровень дивидендов, %
1	25	15.2	2.6
2	20	13.9	2.1
3	15	15.8	1.5
4	34	12.8	3.1
5	20	6.9	2.5
6	33	14.6	3.1
7	28	15.4	2.9
8	30	17.3	2.8
9	23	13.7	2.4
10	24	12.7	2.4

Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров

Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.

Задача№2

yt – нарастающая по кварталам прибыль коммерческого банка (КБ);

x1t – процентная ставка КБ по кредитованию юридических лиц;

x2t – процентная ставка КБ по депозитным вкладам.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	15	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x1t	32	34	41	38	42	48	50	52	54	51
x2t	32	28	26	24	25	23	19	27	22	20

Предположим, что форма связи между результативным и факторными признаками линейная.

Определим множественную линейную модель ŷ = a + b1 x1+ b2 x2. Находим коэффициенты a и b, которые получаются в результате решения системы нормальных уравнений, полученной на основе МНК.

ΣY – an – b1 ΣX1 b2 ΣX2 =0;

ΣYX1 – aΣX1 – b1 ΣX12 – b2 Σ X1X2 =0;

ΣYX2 – aΣX2 – b1 Σ X1X2 – b2 ΣX22=0;

10a + 442b1 + 246b2 = 238;

442a + 20094b1 + 10670b2 = 10895;

246a + 10670b1 + 6188b2 = 5728;

a = - 12,48802292 ≈ - 12,488

b1 = 0,731706475 ≈ 0,7317

b2 = 0,160430761 ≈ 0,16

Таким образом, ŷ = - 12,488 + 0,7317x1 + 0,16x2.

Экономическая интерпретация: Коэффициент регрессии при каждой переменной x дает оценку ее влияния на величину y в случаи неизменности влияния на нее всех остальных переменных.

b1: С увеличением средней процентной ставки КБ по кредитованию юридических лиц на 1 % прибыль КБ в среднем увеличится на 0,7317 млн руб. Из каждого дополнительного процента в ставке процента по кредитованию юридических лиц КБ получает 0,7317 млн руб. прибыли. Так как коэффициент b1 положительный, связь между x1 и y прямая.

b2: С увеличением средней процентной ставки КБ по депозитным вкладам на 1 % прибыль КБ в среднем увеличится на 0,16 млн руб. Из каждого дополнительного процента в ставке процента по депозитным вкладам КБ получает прибыль в 0,16 млн руб. Так как коэффициент b2 положительный, связь между x2 и y прямая.

Коэффициент а не следует интерпретировать, поскольку x = 0 далеко от выборочных значений. Буквальная интерпретация может привести к неверным результатам. (Коэффициент а говорит о том, что без увеличения обеих процентных ставок прибыль КБ уменьшится на 12,488 млн руб).

В виду того, что существует различие единиц измерения результативного признака и факторных признаков, для непосредственной оценки влияния x1 и x2 на y вычисляются коэффициенты эластичности и β-коэффициенты.

kэл1 = 1,358883454 ≈ 1,359

При увеличении процентной ставки КБ по кредитованию юридических лиц на 1 % от ее среднего уровня прибыль КБ в среднем увеличится на 1,359%.

kэл2 = 0,165823391 ≈ 0,166

При увеличении процентной ставки КБ по депозитным вкладам на 1 % от ее среднего уровня прибыль КБ в среднем увеличится на 0,166%.

β1 = 0,966484505 ≈ 0,966

Увеличение процентной ставки КБ по кредитованию юридических лиц на величину среднеквадратичного отклонения этого показателя (44,2) приведет к увеличению прибыли КБ на 0,966 среднеквадратичного отклонения y (23,8).

β2 = 0,104807278 ≈ 0,105

Увеличение процентной ставки КБ по депозитным вкладам на величину среднеквадратичного отклонения этого показателя (24,6) приведет к увеличению прибыли КБ на 0,105 среднеквадратичного отклонения y (23,8).

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических: Ā = 10,47%. Ошибка находится в пределах нормы.

Анализ показателей тесноты связи в уравнении множественной регрессии проводят, используя корреляционный анализ.

Найдем парные коэффициенты корреляции:

ryx1 = 0,889261521 ≈ 0,8893

По абсолютной величине ryx1 > 0,7 – значит, связь между x1 и y является тесной.

ryx2 = - 0,607307554 ≈ - 0,6073

По абсолютной величине ryx2 < 0,7, но ryx2 > 0,4 – значит, связь, существующая между x2 и y является не очень сильной, но достаточно тесной.

rx1x2 = - 0,736809363 ≈ - 0,7368

По абсолютной величине rx1x2 > 0,7 – значит, связь между факторными признаками тесная.

Найдем частные коэффициенты корреляции. Они показывают тесноту связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторных признаков, а также тесноту связи факторов при неизменных значениях результата.

ryx1/x2 = 0,8224896 ≈ 0,822 – связь между y и x1 при неизменном x2 прямая, т.к. ryx1/x2 > 0 и тесная, т.к. ryx1/x2 > 0,7;

ryx2/x1 = 0,15491998 ≈ 0,155 – связь между y и x2 при неизменном x2 прямая, т.к. ryx2/x1 > 0 и слабая, т.к. ryx2/x1<0,4;

rx1x2/y = - 0,5414430 ≈ - 0,541 – связь между x1и x2 при неизменном y обратная, т.к. ryx1/x2 < 0 и не очень тесная, т.к. ryx1/x2 < 0,7. Поскольку существует неслабая связь между факторами, можно говорить о явлении мультиколлинеарности регрессии, т.е. факторы оказывают совместное влияние на y.

Коэффициент множественной корреляции рассматривает тесноту связи между y и всеми факторами:

Ryx1x2 = 0,892080282 ≈ 0,892

Таким образом, степень тесноты связи прибыли КБ с факторами процентной ставки по кредитованию юридических лиц и процентной ставки по депозитным вкладам является высокой.

Найдем совокупный коэффициент детерминации на основе коэффициента множественной корреляции:

R2 = 0,7958072 ≈ 0,796

Это означает, что совместное влияние процентной ставки по кредитованию юридических лиц и процентной ставки по депозитным вкладам объясняет почти 80% изменения среднеквартальной прибыли КБ. 20% вариации среднеквартальной прибыли КБ определяется вариацией факторов, неучтенных в модели.

Проверим статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Выдвигаем основную гипотезу и альтернативную:

H0: b1 = 0

H1: b1 ≠ 0

Найдем стандартную ошибку оценки b1: Sb1 = √D[b1]; Sb1 = 0,191

tфакт = 3,826; tтабл = 2,3646 (степеней свободы k = n-m-1 = 7; вероятность 95%)

tфакт > tтабл , принимаем гипотезу H1 , следовательно коэффициент b значимый.

Построим доверительный интервал: b1 - Sb1t < β1 < b1 + Sb1t

0,279472 < β1 < 1,183941

Данный доверительный интервал накрывает истинное значение параметра β1 с вероятностью 95%. Чем меньше доверительный интервал, тем точнее оценка. Имеем небольшой доверительный интервал, значит, полученная оценка достаточно точна.

H0: b2 = 0

H1: b2 ≠ 0

Найдем стандартную ошибку оценки b2: Sb2 = √D[b2]; Sb2 = 0,387

tфакт = 0,415; tтабл = 2,3646 (степеней свободы k = n-m-1 = 7; вероятность 95%)

tфакт < tтабл , принимаем гипотезу H0 , следовательно коэффициент b незначимый.

Построим доверительный интервал: b2 - Sb2t < β2 < b2 + Sb2t

- 0,7539307 < β2 < 1,074792

Данный доверительный интервал накрывает истинное значение параметра β2 с вероятностью 95%. Полученный доверительный интервал больше предыдущего, значит, полученная оценка менее точна.

H0: a = 0

H1: a ≠ 0

Найдем стандартную ошибку оценки a: Sa = √D[a]; Sa = 16,7741

tфакт = - 0,744; tтабл = 2,3646 (степеней свободы k = n-m-1 = 7; вероятность 95%)

tфакт < tтабл , принимаем гипотезу H0 , следовательно коэффициент a незначимый.

Построим доверительный интервал: a – Sat < α < a + a2t

- 52,152491 < α < 27,17644

Данный доверительный интервал накрывает истинное значение параметра α с вероятностью 95%. Полученный доверительный интервал очень большой, значит, полученная оценка неточная.

Проверим качество модели в целом с помощью F-критерия Фишера.

Выдвинем гипотезу H0 о том, что уравнение в целом статистически незначимо и конкурирующую гипотезу H1 :

H0: R2 = 0

H1: R2 ≠ 0

Fфакт = 13,64066556 ≈ 13,64

Fтабл = 4,46 (уровень значимости α = 5%, число степеней свободы k = 8)

Fфакт > Fтабл Значит, следует принять гипотезу H1 , т.е. уравнение в целом статистически значимо, y зависит от x1 и x2 неслучайно.

Проверим выполнимость предпосылки статистической независимости отклонений между собой, т.е. их некоррелированность. На практике используют критерий Дарбина-Уотсона.

DW = 2,2672; 1,5 < DW < 2,5 → отсутствует автокорреляция остатков, т.е. отклонения независимы между собой.

Это означает, что построенная линейная регрессия, скорее всего, отражает реальную зависимость и не осталось неучтенных существенных факторов, влияющих на зависимую переменную.

Остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, значит, они независимы от факторного признака и оценка коэффициента b1 является несмещенной.

Почти все остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, значит, они независимы от факторного признака и оценка коэффициента b2 является несмещенной.

Основные правила использования Exсel для построения

регрессионных моделей

Исходные данные для программы «Регрессия» располагаются в виде столбцов. При этом в качестве значений элементов этих столбцов берутся числовые множители при неизвестных коэффициентов модели. Числовые множители при свободных членах не вводятся.

ля работы с модулем «Регрессия» следует вызвать «Пакет анализа». Если этот пункт в данном меню «Сервис» отсутствует, необходимо его включить, используя пункт меню «Надстройка». Выделите в надстройках «Анализ данных», нажмите клавишу «ОК»

После активизации «Пакета анализа», выберите модуль «Описательная статистика».

результате Вы получите статистические показатели, такие, как среднее, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и т.д. Обязательно определите Выходной интервал и Итоговую статистику.

алее, для построения регрессионных моделей воспользуйтесь модулем «Регрессия».

В результате Вы получите следующие данные:

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,997
R-квадрат	0,994
Нормированный R-квадрат	0,983
Стандартная ошибка	0,962
Наблюдения	4

Дисперсионный анализ
	df	SS		MS	F		Значимость F
Регрессия	2	160,623		80,3115	86,87020011		0,075649025
Остаток	1	0,9245		0,9245
Итого	3	161,5475

	Коэффициенты		Стандартная ошибка			t-статистика		P-Значение
Y-пересечение	4,12		2,68			1,54		0,37
Переменная X 1	-2,38		2,44			-0,98		0,51
Переменная X 2	1,57		0,48			3,28		0,19


	Нижние 95%		Верхние 95%			Нижние 95,0%		Верхние 95,0%
	-29,89		38,14			-29,89		38,14
	-33,41		28,64			-33,41		28,64
	-4,53		7,68			-4,53		7,68

Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.

Начальный пункт эконометрического анализа зависимостей – оценка линейной зависимости переменных. Если имеется некоторое облако точек наблюдений, через него можно попытаться провести прямую линию, которая является наилучшей в определенном смысле среди всех прямых линий, то есть ближайшей к точкам наблюдений по их совокупности.

Обычно в качестве критерия близости используется минимум суммы квадратов разностей наблюдений зависимой переменной yi и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии значений (a+bxi): Q=.

Здесь yi и xi – известные данные наблюдений, .a и b неизвестные параметры линии регрессии. Поскольку функция Q непрерывна, выпукла и ограничена снизу нулем, она имеет минимум. Метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующей сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции, называется МНК или Least Squares Method (LS).

Наилучшая по МНК прямая линия всегда существует, но даже наилучшая не всегда является хорошей

Рассмотрим эту задачу оценки коэффициентов парной линейной регрессии более формально.

Предположим, что связь между всеми возможными значениями х и у, то есть для генеральной совокупности линейна: y=+x. Наличие случайных отклонений, вызванных воздействием на переменную у множества других, неучтенных в уравнении факторов и ошибок измерения, приведет к тому, что связь наблюдаемых величин xi и yi приобретет вид yi=+xi+ i. Здесь i.- случайные ошибки (отклонения, возмущения).

Причины существования случайного члена:

Невключение объясняющих переменных;

Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.

Неправильное описание структуры модели;

Неправильная функциональная спецификация;

Ошибки измерения.

Так как отклонения i. – случайны и их значения в выборке неизвестны; то

по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров  и ;

Оценки параметров  и  соответственно а и b, которые сами являются случайными величинами, т.к. соответствуют случайной выборке;

Оцененное уравнение регрессии будет иметь вид yi=а+bxi+ ei, где ei – наблюдаемые значения ошибок i.

Для оценки параметров  и  - используется МНК. Минимум ищется по переменным а и b.

Пример. Представлены статистические данные о расходах на питание и душевом доходе семьи для девяти групп семей. Необходимо сделать анализ зависимости величины расходов на питание от величины душевого дохода семьи.

№ группы	Расход на питание (У)	Душевой доход (Х)
1	433	628
2	616	1577
3	900	2659
4	1113	3701
5	1305	4796
6	1488	5926
7	1645	7281
8	1914	9350
9	2411	18807

1. Изобразим зависимость между У и Х графически точками координатной плоскости. Такое изображение статистической зависимости называют полем корреляции.

2. Затем рассмотрим линейную регрессионную модель влияния душевого дохода семьи (Х) на расходы, связанные с питанием (У).

Однофакторная линейная модель:

(1) ,

Найдем параметры a и b в результате решения системы нормальных уравнений, которая формируется на основе метода наименьших квадратов и имеет вид:

(2)

суммирование ведется по n наблюдениям. В примере n=9.

Расчет производных величин для определения параметров уравнения a и b, а также коэффициента корреляции проведем в таблице следующего вида:

n	y	x	yx	x2	y2
1
2
3
.....

Используя данные таблицы, получим систему уравнений:

отсюда а=549,68, а b=0,1257. Таким образом, модель имеет вид:

(3)

-уравнение регрессии.

3. Параметрам линейной регрессии можно придать экономический смысл. Выполним экономическую интерпретацию параметров уравнения, а также уравнения в целом:

a) Параметр b=0,13 - показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения. В данном примере с увеличением дохода на 1 единицу расходы на питание повышаются в среднем на 0,13. Другими словами, из каждого дополнительного рубля дохода 13 копеек будут израсходованы на питание.

в) Параметр а=549,68 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями. Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

с) Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (теоретические) значения результативного показателя для каждого наблюдения. Полученные величины показывают, какой бы был расход на питание при соответствующих доходах, если бы данная группа n использовала бы свои доходы в такой степени, как в среднем все анализируемые группы.

d) Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если >0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая, т.е. с увеличением душевого дохода расходы на питание также увеличиваются.

e) Далее нужно рассчитать показатель тесноты связи. Таким показателем является линейный коэффициент корреляции ryx, который рассчитывается по формуле:

,
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Если ryx>0,7, то связь считается сильной. Если ryx<0,4, слабая связь. Этот коэффициент дает объективную оценку лишь при линейной зависимости. В нашем примере ryx=0,927. Т.е. связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

f) Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

Индекс корреляции рассчитывается по формуле:

, где

- сумма квадратов отклонений остаточной компоненты;

-сумма квадратов отклонений уровней исходного ряда от его среднего значения.

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции.

g) Следующий шаг – найдем коэффициент детерминации R2.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат (R2), называется коэффициентом детерминации.

R2=

Он показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. Объясняет поведение у от выбранного х, т.е. определяет, какая доля вариации признака У учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов. Поэтому величина 1-R2 характеризует поведение у в зависимости от других факторов, не учтенных в данной модели. В нашем примере R2=0,859. Это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86% изменения расходов на питание. Остальные 14% изменения расходов на питание объясняются факторами, не учтенными в модели.

h) Коэффициенты регрессии (в примере b) нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

, где i- номер факторного признака, если рассматривается множественная регрессия и

и m – число факторов в модели.

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов. В примере, а=0,1257, среднее значение х=6080,6 и среднее значение у=1313,9. Коэффициент эластичности тогда равен 0,58.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения:
Т.е. увеличение душевого дохода на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего значения расходов на питание на 0,79 среднеквадратического отклонения этих расходов.

i) Коэффициент вариации показывает относительную меру отклонения отдельных значений от среднеарифметической. Чем он больше, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность изучаемых объектов.

4. Оценка качества эконометрических регрессионных моделей

О качестве моделей регрессии можно судить по значениям коэффициента корреляции (индекса корреляции) и коэффициента детерминации для однофакторных моделей и по значениям коэффициента множественной корреляции и совокупного коэффициента детерминации для моделей множественной регрессии.

В качестве меры разброса зависимой переменной у обычно используется ее дисперсия. Мера разброса остатков (остаточная вариация) может быть измерена как дисперсия отклонений вокруг линии регрессии:

= D(

)

Для оценки точности регрессионных моделей применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n-m-1), где m – количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины называется стандартной ошибкой оценки: т.е.,

а) Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F- критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели. Если расчетное значение с 1=m и 2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой:

, где m –число факторов, объясняющих поведение зависимой переменной у.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0.

Далее определяют фактическое значение F-критерия по формуле

Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

В рассматриваемом примере Fфакт.=

42,645, а Fтабл.=5,59. Таким образом, Fфакт.> Fтабл. и принимается гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

b) При проверке качества регрессионной модели целесообразно также оценить значимость коэффициентов регрессии. Эта оценка проводится по t-статистике Стьюдента путем проверки гипотезы о равенстве нулю j-го параметра уравнения (кроме свободного члена):

, где

- это стандартное (среднее квадратическое) отклонение коэффициента уравнения регрессии bj.

Величина

представляет собой квадратный корень из произведения несмещенной оценки дисперсии Se и j-го диагонального элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных уравнений:

, где

, bjj- диагональный элемент матрицы (XTX)-1.

Если расчетное значение t-критерия с (n-m-1) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Для парной линейной регрессии оценка статистической значимости коэффициента b линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

Выдвигается нулевая гипотеза о том, что коэффициент регрессии статистически незначим: H0: b=0.

Определяется фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии по формуле

где

, где S(b) – стандартная ошибка коэффициента регрессии используется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительных интервалов; S2- остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Процедура оценивания существенности параметра а не отличается от рассмотренной для коэффициента регрессии b:

где

Табличное значение определяется по таблицам распределения Стьюдента для заданного уровня значимости , принимая во внимание, что число степеней свободы для распределения Стьюдента равно (n-m-1).

Если фактическое значение t-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости коэффициента уравнения.

В рассматриваемом примере

S(b)= и tфакт.>tкрит., где tкрит.=2,3646. Значит, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля и зависимость является достоверной.

с) Проверка значимости линейного коэффициента корреляции r проводится с помощью t-критерия Стьюдента: tнабл.=

сравнивается с критическим значением t-критерия из таблицы значений с учетом заданного уровня значимости (=0,05) и числа степеней свободы (n-2). Если tнабл.> tкритич., то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (т.е., нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Т.е. делается вывод, что есть тесная статистическая взаимосвязь.
В парной линейной регрессии t2r=F, так как

. Кроме того, t2b=F. Следовательно, t2r=t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

В рассматриваемом примере t2r не совпало с t2b из-за ошибок округлений.

Рассмотренная формула оценки коэффициентов корреляции рекомендуется при большом числе наблюдений и если r не близко к +1 или –1. Если же величина коэффициента корреляции близка к +1, то распределение его оценок отличается от нормального или распределения Стьюдента, так как величина коэффициента корреляции ограничена значениями от –1 до +1.

5. Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.

Продолжим рассмотрение нашего примера. С доверительной вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения результативного признака, если факторный признак увеличится на 5% от своего среднего значения. Построим точечный прогноз

при хр=1,05

=1,05*6080,6, т.е. путем подстановки в уравнение регрессии

соответствующего значения хр. Точечный прогноз дополняется расчетом стандартной ошибки

и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	15	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x1t	32	34	41	38	42	48	50	52	54	51
x2t	32	28	26	24	25	23	19	27	22	20

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	15	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x1t	32	34	41	38	42	48	50	52	54	51
x2t	32	28	26	24	25	23	19	27	22	20

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	15	20	22	14	25	28	25	28	30	31
x1t	32	34	41	38	42	48	50	52	54	51
x2t	32	28	26	24	25	23	19	27	22	20