Многомерный регрессионный анализ (стр. 4 из 8)
В нашем случае
начальные моменты равны:
. 2-го поpядка 2773.1780
. 3-го поpядка 1.4943e+05
. 4-го поpядка 8.1668e+06
Центральным моментом порядка k случайной величины х называют математическое ожидание величины (х – (М (х))к, в частности
μ1 = М[х – М (х)] = 0; μ2 = М[ ( х – М (х))2] = D (х).
В нашем случае центральные моменты равны:
. 3-го поpядка -2.1613e+01
. 4-го поpядка 5.1166e+03
Теперь рассмотрим нашу совокупность на предмет симметрии.
Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В статистике для характеристики асимметрии используют показатели асимметрии и эксцесса.
Так как видно, что наша совокупность асимметричная, найдем степень асимметрии. Сперва используем коэффициент асимметрии:
_
Аs = (у – Мо)/ σ = 0,4637,
что свидетельствует о наличии незначительной правосторонней асимметрии (Аs>0).
Теперь рассчитаем показатель эксцесса:
ЕК = μ4/ σ4 – 3, где μ4 – центральный момент четвертого порядка.
ЕК = 0,9017, следовательно, распределение стран Африки по продолжительности жизни является островершинным (ЕК>0).
Кроме того, взглянув на нашу совокупность, можно увидеть, что максимальная продолжительность жизни жителей стран Африки равна уmax=64,5 лет, а минимальная у min=37 лет.
Размах данной совокупности равен уmax - у min = 27,5 лет.
Многошаговый регрессионный анализ.
Построим корреляционную модель из исследуемых шести переменных:
y, 
, 
, 
, 
, 
.Присвоим для облегчения обозначений всем переменным порядковые номера: у-1, х1-2, х2-3, x3-4,x4-5,x5-6.
Предварительно, с целью анализа взаимосвязи показателей построена таблица парных коэффициентов корреляции R.
┌─────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┬───────┐
│ │ y │ x1 │ x2 │ x3 │ x4 │ x5 │
├─────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┼───────┤
│ y │ 1.00 │ 0.30 │ 0.53 │ 0.60 │ -0.51 │ 0.26 │
│ x1 │ 0.30 │ 1.00 │ 0.27 │ 0.10 │ -0.33 │ 0.02 │
│ x2 │ 0.53 │ 0.27 │ 1.00 │ 0.74 │ -0.04 │ 0.17 │
│ x3 │ 0.60 │ 0.10 │ 0.74 │ 1.00 │ -0.03 │ 0.15 │
│ x4 │ -0.51 │ -0.33 │ -0.04 │ -0.03 │ 1.00 │ -0.31 │
│ x5 │ 0.26 │ 0.02 │ 0.17 │ 0.15 │ -0.31 │ 1.00 │
└─────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┴───────┘
Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем x3 – числом медицинских работников на 10 тысяч населения (ryx3=0.60).
Одним из основных препятствий эффективного применения регрессионного анализа, является мультиколлинеарность (наличие сильной корреляции между независимыми переменными, входящими в уравнение регрессии x1,x2,x3,x4,x5). Наиболее распространенный метод выявления коллинеарности основан на анализе парных коэффициентов корреляции. Он состоит в том, что две или несколько переменных признаются коллинеарными (мультиколлинеарными), если парные коэффициенты корреляции больше определенной величины. На практике наиболее часто считают, что два аргумента коллинеарны, если парный коэффициент корреляции между ними по абсолютной величине больше 0,8.
В данном примере ни один парный коэффициент корреляции не превышает величины 0,8, что говорит об отсутствии явления мультиколлинеарности.
Приступим непосредственно к регрессионному анализу.
Построим регрессионную модель по следующим факторам: х1, х2, х3, х4 и х5. Для расчета параметров уравнения регрессии используем стандартную программу многошагового регрессионного анализа с последовательным отсевом факторов.
На первом шаге построения модели в уравнение линейной регрессии вводятся все указанные выше переменные. В результате получена следующая модель:
ŷ= 57.700+0.000*x1+0.056*x2+0.173*x3-0.182*x4+0.007*x5.
Прежде чем осуществлять проверку значимости уравнения регрессии и коэффициентов регрессии, следует убедиться, что выполняется необходимое для этого условие, а именно следует проверить, является ли распределение остатков (т.е. отклонений эмпирических значений зависимой переменной от расчетных) нормальным. Для проверки данного условия используем критерий согласия Пирсона
, рассчитанные значения которого приведены ниже:Проверка нормального закона распределения
критерий хи-квадpат
.число степеней свободы 3
.хи-квадpат pасчетное 1.571
веpоятн. хи-квадpат заключение
уpовень теоpетическое о гипотезе
0.900 6.226 не отвеpгается
0.950 7.795 не отвеpгается
0.990 11.387 не отвеpгается
Таким образом, можно сделать вывод, что гипотеза о нормальности распределения остатков не отвергается с доверительной вероятностью 0.95 (
=7.795).Проверка значимости уравнения регрессии показала, что оно значимо на уровне доверительной вероятности 0,95. (см. приложение 3.1)
Уровень множественного коэффициента детерминации (0,625) свидетельствует о том, что воздействием включенных в модель факторов обусловлено 62,5% вариации средней продолжительности жизни в странах Африки.
Далее осуществляется проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии на основе t-критерия Стьюдента. Для определения
, используем таблицу распределения Стьюдента: =2,093 (α=0,05 и ν=n-k-1=25-5-1=19).По нижеприведенной таблице (гр.5 t-значения) статистически существенными оказались только два коэффициента регрессии при переменных
и 
(|t|> ).Оценки коэффициентов линейной регрессии
┌───┬──────────┬───────────┬───────────────┬───────────┬────────┬─────────┐
│ N │ Значение │ Дисперсия │ Средне- │ t - │ Нижняя │ Верхняя │
│ │ │ │ квадатическое │ значение │ оценка │ оценка │
│ │ │ │ отклонение │ │ │ │
├───┼──────────┼───────────┼───────────────┼───────────┼────────┼─────────┤
│
│ 57.70 │ 59.12 │ 7.69 │ 7.50 │ 44.37 │ 71.03 ││
│ 0.00 │ 0.00 │ 0.00 │ 0.36 │ -0.00 │ 0.00 ││
│ 0.06 │ 0.01 │ 0.08 │ 0.66 │ -0.09 │ 0.20 ││
│ 0.17 │ 0.01 │ 0.08 │ 2.21 │ 0.04 │ 0.31 ││
│ -0.18 │ 0.00 │ 0.06 │ -2.96 │ -0.29 │ -0.08 ││
│ 0.01 │ 0.00 │ 0.06 │ 0.12 │ -0.09 │ 0.11 │└───┴──────────┴───────────┴───────────────┴───────────┴────────┴─────────┘
Среди незначимых коэффициентов регрессии наименее существенно по значению t-критерия является коэффициент регрессии при переменной
(среднегодовой индекс роста производства продовольствия), t=0.12. Этот фактор и подлежит исключению из модели в первую очередь. Исключив указанный фактор, на втором шаге получаем уравнение регрессии следующего вида:
ŷ= 58.478+0.000*x1+0.057*x2+0.173*x3-0.184*x4 .