Курс социально-экономической статистики (стр. 170 из 182)
Таким образом, первая главная компонента вносит наибольший вклад в суммарную дисперсию, а последняя, k-я, — наименьший.
В ортогональной матрице U собственных векторов v-й столбец является собственным вектором, соответствующим λv -му значению.
Собственные значения λ1 ≥ ... ≥ λv.... ≥ λk находятся как корни характеристического уравнения
(53.35)Собственный вектор Vv, соответствующий собственному значению λv корреляционной матрицы R, определяется как отличное от нуля решение уравнения, которое следует из (53.34):
(53.36)Нормированный собственный вектор Uv равен
Из условия ортогональности матрицы U следует, что U-1 = UT, но тогда, по определению, матрицы R и Λ подобны, так как они, согласно (53.34), удовлетворяют условию
Так как у подобных матриц суммы диагональных элементов равны, то
Учитывая, что сумма диагональных элементов матрицы R равна k, будем иметь
Таким образом,
(53.37)Представим матрицу факторных нагрузок А в виде
(53.38)а v-й столбец матрицы А — как
где Uv — собственный вектор матрицы R, соответствующий собственному значению λv.
Найдем норму вектора Аv:
(53.39)Здесь учитывалось, что вектор Uv — нормированный и U 
Uv = 1. Таким образом,
Сравнив полученный результат с (53.32), можно сделать вывод, что собственное значение λv характеризует вклад v-й главной компоненты в суммарную дисперсию всех исходных признаков. Из (53.38) следует, что
(53.40)Согласно (53.37), общий вклад всех главных компонент в суммарную дисперсию равен k. Тогда удельный вклад v-й главной компоненты определяется по формуле
.Суммарный вклад т первых главных компонент определяется из выражения
.Обычно для анализа используют т первых главных компонент, вклад которых в суммарную дисперсию превышает 60—70%.
Матрица факторных нагрузок А используется для экономической интерпретации главных компонент, которые представляют собой линейные функции исходных признаков. Для экономической интерпретации fv используются лишь те хj, для которых |ajv| > 0,5.
Значения главных компонент для каждого i-го объекта (i = 1, 2, .... n) задаются матрицей F.
Матрицу значений главных компонент можно получить из формулы
откуда
Уравнение регрессии на главных компонентах строится по алгоритму пошагового регрессионного анализа, где в качестве аргументов используются главные компоненты, а не исходные показатели. К достоинству последней модели следует отнести тот факт, что главные компоненты не коррелированы. При построении уравнений регрессии следует учитывать все главные компоненты.
Пример. Построение регрессионного уравнения
По данным примера из § 53.2 провести компонентный анализ и построить уравнение регрессии урожайности Y на главных компонентах.
Решение. В примере из § 53.2 пошаговая процедура регрессионного анализа позволила исключить отрицательное значение мультиколлинеарности на качество регрессионной модели за счет значительной потери информации. Из пяти исходных показателей в окончательную модель вошли только два (x1 и x4). Более рациональным в условиях мультиколлинеарности можно считать построение уравнения регрессии на главных компонентах, которые являются линейными функциями всех исходных показателей и не коррелированы между собой.
Воспользовавшись методом главных компонент, найдем собственные значения и на их основе — вклад главных компонент в суммарную дисперсию исходных показателей x1, х2, х3, х4, х5 (табл. 53.2).
Таблица 53.2
Собственные значения главных компонент
Ограничимся экономической интерпретацией двух первых главных компонент, общий вклад которых в суммарную дисперсию составляет 89,0%. В матрице факторных нагрузок
звездочкой указаны элементы аjv = rxjfv, учитывающиеся при интерпретации главных компонент fv, где j, v = 1, 2, ..., 5.
Из матрицы факторных нагрузок А следует, что первая главная компонента наиболее тесно связана со следующими показателями: x1 — число колесных тракторов на 100 га (a11 = rx1f1 = 0,95); х2 — число зерноуборочных комбайнов на 100 га (rx2f1 = 0,97); х3 — число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га (rx3f1 = 0,94). В этой связи первая главная компонента — f1 — интерпретирована как уровень механизации работ.
Вторая главная компонента — f2 — тесно связана с количеством удобрений (х4) и химических средств оздоровления растений (x5), расходуемых на гектар, и интерпретирована как уровень химизации растениеводства.
Уравнение регрессии на главных компонентах строится по данным вектора значений результативного признака Y и матрицы F значений главных компонент.
Некоррелированность главных компонент между собой и тесноту их связи с результативным признаком у показывает матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 53.3).
Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции свидетельствует о том, что результативный признак у наиболее тесно связан с первой (ryf1 = 0,48), третьей (ryf3 = 0,37) и. второй (ryf2 = 0,34) главными компонентами. Можно предположить, что только эти главные компоненты войдут в регрессионную модель у.
Таблица 53.3
Матрица парных коэффициентов корреляции
Первоначально в модель у включают все главные компоненты (в скобках указаны расчетные значения t-критерия):
(53.41)Качество модели характеризуют: множественный коэффициент детерминации r 
= 0,517, средняя относительная ошибка аппроксимации
= 10,4%, остаточная дисперсия s2 = 1,79 и Fнабл = 121. Ввиду того что Fнабл > Fкр =2,85 при α = 0,05, v1 = 6, v2 = 14, уравнение регрессии значимо и хотя бы один из коэффициентов регрессии — β1, β2, β3, β4 — не равен нулю.Если значимость уравнения регрессии (гипотеза Н0: β1 = β2 = β3 = β4= 0 проверялась при α = 0,05, то значимость коэффициентов регрессии, т.е. гипотезы H0: βj = 0 (j = 1, 2, 3, 4), следует проверять при уровне значимости, большем, чем 0,05, например при α = 0,1. Тогда при α = 0,1, v = 14 величина tкр = 1,76, и значимыми, как следует из уравнения (53.41), являются коэффициенты регрессии β1, β2, β3.
Учитывая, что главные компоненты не коррелированы между собой, можно сразу исключить из уравнения все незначимые коэффициенты, и уравнение примет вид
(53.42)Сравнив уравнения (53.41) и (53.42), видим, что исключение незначимых главных компонент f4 и f5, не отразилось на значениях коэффициентов уравнения b0 = 9,52, b1 = 0,93, b2 = 0,66 и соответствующих tj (j = 0, 1, 2, 3).
Это обусловлено некоррелированностью главных компонент. Здесь интересна параллель уравнений регрессии по исходным показателям (53.22), (53.23) и главным компонентам (53.41), (53.42).