Автокорреляционная функция Примеры расчётов (стр. 2 из 3)
На диаграммах показаны: исходный ряд (сверху) и автокорреляционная функция до лага 9 (снизу). На нижней диаграмме штриховой линией обозначен уровень «белого шума» - граница статистической значимости коэффициентов корреляции. Видно, что имеется сильная корреляция 1 и 2 порядка, соседних членов ряда, но и удаленных на 1 единицу времени друг от друга. Корреляционные коэффициенты значительно превышают уровень «белого шума». По графику автокорреляции видим наличие четкого тренда.
Ниже даны значения автокорреляционной функции и уровня белого шума
| АКФ(...) | Ошибка АКФ | ||
| 1 | 0,856 | 0,203 | -0,203 |
| 2 | 0,762 | 0,616 | -0,616 |
| 3 | 0,658 | 0,747 | -0,747 |
| 4 | 0,550 | 0,831 | -0,831 |
| 5 | 0,418 | 0,885 | -0,885 |
| 6 | 0,315 | 0,915 | -0,915 |
| 7 | 0,224 | 0,932 | -0,932 |
| 8 | 0,131 | 0,940 | -0,940 |
Если нас интересует внутренняя динамика ряда необходимо найти первую разность его членов, т.е. для каждого квартала найти изменение значения по сравнению с предыдущим кварталом. Для первой разности построим автокорреляционную функцию.
| Статистика Дарбина-Ватсона (DW) =1,813 |
| DW Up= 1,450 |
| DW Low=1,290 |
Статистика Дарбина-Уотсона показывает, что автокорреляции 1-го порядка нет. По графику можно видеть, что первые разности возрастают, т.к. тренд восходящий. Видна автокорреляция 2 и 4-го порядков, что говорит о полугодовой и годовой сезонности. Значения функции и границы для «белого шума» представлены ниже
| АКФ(...) | Ошибка АКФ | ||
| 1 | -0,203 | 0,392 | -0,392 |
| 2 | -0,530 | 0,416 | -0,416 |
| 3 | -0,003 | 0,513 | -0,513 |
| 4 | 0,637 | 0,513 | -0,513 |
| 5 | -0,087 | 0,627 | -0,627 |
| 6 | -0,423 | 0,629 | -0,629 |
| 7 | -0,028 | 0,673 | -0,673 |
Пример 2. Импорт
Дано
| год | квартал | номер | значение | разность |
| 1999 | I | 1 | 3,10 | |
| II | 2 | 3,40 | 0,30 | |
| III | 3 | 3,33 | -0,07 | |
| IV | 4 | 3,80 | 0,47 | |
| 2000 | I | 5 | 3,20 | -0,60 |
| II | 6 | 3,60 | 0,40 | |
| III | 7 | 3,70 | 0,10 | |
| IV | 8 | 4,33 | 0,63 | |
| 2001 | I | 9 | 3,60 | -0,73 |
| II | 10 | 4,43 | 0,83 | |
| III | 11 | 4,30 | -0,13 | |
| IV | 12 | 5,17 | 0,87 | |
| 2002 | I | 13 | 4,13 | -1,03 |
| II | 14 | 4,77 | 0,63 | |
| III | 15 | 5,20 | 0,43 | |
| IV | 16 | 5,97 | 0,77 | |
| 2003 | I | 17 | 5,10 | -0,87 |
| II | 18 | 5,90 | 0,80 | |
| III | 19 | 6,33 | 0,43 | |
| IV | 20 | 7,23 | 0,90 | |
| 2004 | I | 21 | 6,43 | -0,80 |
| II | 22 | 7,70 | 1,27 | |
| III | 23 | 8,17 | 0,47 | |
| IV | 24 | 9,08 | 0,92 | |
| 2005 | I | 25 | 8,17 | -0,92 |
| II | 26 | 9,80 | 1,63 | |
| III | 27 | 10,50 | 0,70 | |
| IV | 28 | 12,47 | 1,97 | |
| 2006 | I | 29 | 10,40 | -2,07 |
| II | 30 | 12,67 | 2,27 | |
| III | 31 | 14,20 | 1,53 | |
| IV | 32 | 17,10 | 2,90 |
Построим автокорреляционную функцию
| АКФ(...) | Ошибка АКФ | ||
| 1 | 0,802 | 0,211 | -0,211 |
| 2 | 0,693 | 0,535 | -0,535 |
| 3 | 0,585 | 0,637 | -0,637 |
| 4 | 0,566 | 0,701 | -0,701 |
| 5 | 0,423 | 0,756 | -0,756 |
| 6 | 0,343 | 0,785 | -0,785 |
| 7 | 0,255 | 0,803 | -0,803 |
| 8 | 0,231 | 0,813 | -0,813 |
| 9 | 0,131 | 0,822 | -0,822 |
| 10 | 0,072 | 0,824 | -0,824 |
Видим, что есть автокорреляция 1-го и 2-го порядков. График показывает наличие тренда. Положительная автокорреляция объясняется неправильно выбранной спецификацией, т.к. линейный тренд тут непригоден, он скорее экспоненциальный. Поэтому сделаем ряд стационарным, взяв первую разность.
| АКФ(...) | Ошибка АКФ | ||
| 1 | -0,297 | 0,343 | -0,343 |
| 2 | 0,309 | 0,390 | -0,390 |
| 3 | -0,420 | 0,420 | -0,420 |
| 4 | 0,636 | 0,471 | -0,471 |
| 5 | -0,226 | 0,571 | -0,571 |
| 6 | 0,214 | 0,583 | -0,583 |
| 7 | -0,311 | 0,593 | -0,593 |
| 8 | 0,444 | 0,613 | -0,613 |
| 9 | -0,229 | 0,653 | -0,653 |
Видим наличие автокорреляции 4-го порядка, что соответствует корреляции данных, отдаленных на год. Автокорреляцию первого порядка не имеем.
| Статистика Дарбина-Ватсона (DW) =2,023 |
| DW Up=1,500 |
| DW Low=1,360 |
Пример 3. Экспорт
Приведем данные
| год | квартал | номер | значение | разность |
| 2000 | I | 1 | 22,30 | |
| II | 2 | 22,80 | 0,50 | |
| III | 3 | 24,80 | 2,00 | |
| IV | 4 | 24,80 | 0,00 | |
| 2001 | I | 5 | 25,50 | 0,70 |
| II | 6 | 25,50 | 0,00 | |
| III | 7 | 25,90 | 0,40 | |
| IV | 8 | 26,20 | 0,30 |
| 2002 | I | 9 | 26,30 | 0,10 |
| II | 10 | 28,60 | 2,30 | |
| III | 11 | 28,70 | 0,10 | |
| IV | 12 | 30,30 | 1,60 | |
| 2003 | I | 13 | 30,50 | 0,20 |
| II | 14 | 31,00 | 0,50 | |
| III | 15 | 33,80 | 2,80 | |
| IV | 16 | 36,40 | 2,60 | |
| 2004 | I | 17 | 38,00 | 1,60 |
| II | 18 | 41,40 | 3,40 | |
| III | 19 | 47,20 | 5,80 | |
| IV | 20 | 52,36 | 5,16 | |
| 2005 | I | 21 | 52,50 | 0,14 |
| II | 22 | 60,40 | 7,90 | |
| III | 23 | 65,70 | 5,30 | |
| IV | 24 | 67,40 | 1,70 | |
| 2006 | I | 25 | 69,00 | 1,60 |
| II | 26 | 76,60 | 7,60 | |
| III | 27 | 79,80 | 3,20 | |
| IV | 28 | 71,00 | -8,80 | |
| 2007 | I | 29 | 80,50 | 9,50 |
Для исходного ряда имеем:
| АКФ(...) | Ошибка АКФ | ||
| 1 | 0,896 | 0,165 | -0,165 |
| 2 | 0,822 | 0,600 | -0,600 |
| 3 | 0,712 | 0,739 | -0,739 |
| 4 | 0,592 | 0,828 | -0,828 |
| 5 | 0,483 | 0,884 | -0,884 |
| 6 | 0,372 | 0,920 | -0,920 |
| 7 | 0,261 | 0,941 | -0,941 |
| 8 | 0,150 | 0,950 | -0,950 |
| 9 | 0,062 | 0,954 | -0,954 |
Очевидно наличие четкого тренда, значимыми являются коэффициенты автокорреляции 1-го и 2-го порядков. Для первой разности
| АКФ(...) | Ошибка АКФ | ||
| 1 | -0,173 | 0,372 | -0,372 |
| 2 | -0,090 | 0,389 | -0,389 |
| 3 | 0,353 | 0,392 | -0,392 |
| 4 | 0,240 | 0,435 | -0,435 |
| 5 | -0,106 | 0,454 | -0,454 |
| 6 | -0,088 | 0,457 | -0,457 |
| 7 | 0,315 | 0,460 | -0,460 |
| 8 | -0,136 | 0,490 | -0,490 |
