Рис.1.
1.1. Решение задачи потребительского выбора и его свойства.
Набор (х
, х 
), который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальнымдля потребителя. Рассмотрим некоторые свойства задачи потребительского выбора. Во-первых, решение задачи (х
, х ) сохраняется при любом монотонном (т.е. сохраняющем порядок значении) преобразовании функции полезности u(x1,x2). Поскольку значениеu(х , х ), было максимальным на всём допустимом множестве, оно остаётся таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остаётся неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение её в положительную степень, логарифмирование. Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз λ . (λ>0)
Это равнозначно умножению на положительное число λ обеих частей бюджетного ограниченияp1x1+p2x2≤Q, что даёт неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход Q не входят в функцию полезности, задача остаётся той же, что и первоначально.
Если на каком-то потребительском наборе (x1,x2) бюджетное ограничение p1x1+p2x2≤Q будет выполняться в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (х
, х ), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е. p1х
+p2х =Q. Графически это означает, что решение (х
, х ) задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой, которая проходит через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратиться на один продукт: (0, 
) и ( 
,0). Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение (х
, х ) этих двух задач одно и то же): u(x1,x2)→max
при условии p1x1+p2x2=Q.
Для решения этой задачи применим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа
L(x1,x2,λ)= u(x1,x2)+ λ (p1x1+p2x2-Q),
находим её частные производные по переменным x1,x2 и λ, которые приравниваем к нулю:
L 
= u 
+λ p1=0, L
= u 
+λ p2 =0, L
=p1x1+p2x2-Q =0. Исключив из полученной системы неизвестную λ, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x1, и x2 :
= 
,p1x1+p2x2=Q.
Решение (х
, х ) этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставив решение (х , х ) в левую часть равенства: 
= ,получим, что в точке (х
, х ) отношение 
предельных полезностей u (х , х ) и u (х , х ) продуктов равно отношению рыночных цен p1и p2 на эти продукты: = . (5.1)В связи с тем, что отношение
равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия (х , х ), из (5.1) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен на продукты. Приведённый результат играет важную роль в экономической теории.Геометрически решение (х
, х ) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности u(x1,x2) с бюджетной прямой p1x1+p2x2=Q. Это определяется тем, что отношение 
=- 
показывает тангенс угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение - представляет тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора они равны, то в этой точке происходит касание данных двух линий.1.1.1. Пример решения задачи потребительского выбора.
Решим задачу потребительского выбора.
Оптимальный набор потребителя составляет 6 ед. продукта х1 и 8 ед. продукта х2. Определите цены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. Функция полезности потребителя имеет вид: u(x1,x2)=x
x 
. Решение. Следуя принципу решения, получаем систему уравнений: