Эконометрика 10 (стр. 4 из 5)

2. Проверка случайности последовательности e_i проводится с помощью критерия пиков (поворотных точек). Каждое значение ряда (e_i) сравнивается с двумя, рядом стоящими. Точка считается поворотной, если она либо больше и предыдущего и последующего значения, либо меньше и предыдущего и последующего значения.

В случайном ряду должно выполняться строгое неравенство:

,

(6.14)

где p - число поворотных точек;

[ ] - целая часть результата вычислений.

3. При проверке независимости значений e_i определяется отсутствие в остаточном ряду автокорреляции, под которой понимается корреляция между элементами одного и того же числового ряда. В нашем случае автокорреляция - это корреляция ряда e₁, e₂, e₃ ... с рядом e_L+1, e_L+2, e_L+3 ... Число L характеризует запаздывание (лаг). Корреляция между соседними членами ряда (т.е. когда L = 1) называется автокорреляцией первого порядка. Далее для остаточного ряда будем рассматривать зависимость между соседними элементами e_i.

Значительная автокорреляция говорит о том, что спецификация регрессии выполнена неправильно (неправильно определен тип зависимости).

Наличие автокорреляции может быть выявлено при помощи d-критерия Дарбина-Уотсона. Значение критерия вычисляется по формуле:

.

(6.15)

Эта величина сравнивается с двумя табличными уровнями: нижним - d₁ и верхним - d₂. Соответствующая статистическая таблица приведена в приложении A. Если полученное значение d больше двух, то перед сопоставлением его нужно преобразовать:

d^' = 4 - d.

Если d (или d^') находится в интервале от нуля до d₁ , то значения остаточного ряда сильно автокоррелированы.

Если значение d-критерия попадает в интервал от d₂ до 2, то автокорреляция отсутствует.

Если d₁ < d< d₂ - однозначного вывода об отсутствии или наличии автокорреляции сделать нельзя и необходимо использовать другой критерий, например, коэффициент автокорреляции первого порядка:

.

(6.16)

Если |r(1)| окажется меньше табличного (при n<15 r_табл = 0,36), то гипотеза о наличии автокорреляции отвергается.

4. Соответствие остаточного ряда нормальному распределению проще всего проверить при помощи RS-критерия:

,

(6.17)

где e_max - максимальное значение ряда остатков;

e_min - минимальное значение ряда остатков;

- среднеквадратическое отклонение значений остаточного ряда.

Если рассчитанное значение попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении принимается. Соответствующая статистическая таблица приведена в приложении Б.

Для характеристики точности модели наиболее часто вычисляют среднюю относительную ошибку:

.

(6.18)

В отношении величины средней относительной ошибки, как правило, делают следующие выводы. Величина менее 5% свидетельствует о хорошем уровне точности, ошибка до 15% считается приемлемой.

12. Построение точечных и интервальных прогнозов

C помощью построенной регрессионной модели можно не только анализировать какой-либо процесс, но и прогнозировать значения зависимой переменной при каких-либо заданных значениях факторов.

Модель регрессии позволяет проводить как экстраполяцию, так и интерполяцию значений. Интерполяция - прогнозирование значений зависимой переменной y для значений фактора x, принадлежащих интервалу [x_min; x_max]. Экстраполяция - прогнозирование значений зависимой переменной y для значений фактора x, выходящих за границы интервала [x_min; x_max], чаще всего, при x > x_max.

Точечный прогноз получается путем простой подстановки соответствующих значений x в уравнение регрессии.

Зачастую значения факторов, для которых нужно сделать прогноз значения зависимой переменной, получают на основе среднего прироста значений фактора внутри выборочной совокупности:

,

(6.19)

где x_max и x_min - соответственно, максимальное и минимальное значение переменной x в выборочной совокупности.

При выполнении экстраполяции для определения конкретного значения х, используемого для расчета прогнозного значения y, можно использовать формулу:

xk = xmax + ∙ k ,

(6.20)

при прогнозе на один шаг k = 1, на два шага - k = 2 и т.д.

Подставляя полученное значение в уравнение регрессии, получим точечный прогноз величины y.

Однако вероятность точного "попадания" значения y в эту точку достаточно мала. Поэтому представляет интерес вычисление перспективных оценок значений y в виде доверительных интервалов.

Доверительные границы прогноза определяются по формуле:

граница прогноза = k ± Uk,

(6.21)

где

_k - точечный прогноз величины y,

U_k - величина отклонения от точечного значения, соответствующая исследуемой точке x_k и заданному уровню вероятности.

Величина U_k для линейной модели рассчитывается по формуле:

.

(6.22)

где S - среднеквадратическое отклонение значений остаточного ряда из формулы (6.17),

k_p - табличное значение t-статистики Стьюдента (соответствующая статистическая таблица приведена в приложении В) для заданной вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала.

И если построенная модель регрессии адекватна, то с выбранной вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей функционирования изучаемой системы прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Приложение А.
Значения критерия Дарбина-Уотсона

В таблице приведены значения критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% (m - число независимых переменных уравнения регрессии).

Число наблюдений (n)	m = 1		m = 2		m = 3		m = 4		m = 5
	d1	d2	d1	d2	d1	d2	d1	d2	d1	d2
15 20 30 50 100	1,08 1,20 1,35 1,50 1,65	1,36 1,41 1,49 1,59 1,69	0,95 1,10 1,28 1,46 1,63	1,54 1,54 1,57 1,63 1,72	0,82 1,00 1,21 1,42 1,61	1,75 1,68 1,65 1,67 1,74	0,69 0,90 1,14 1,38 1,59	1,97 1,83 1,74 1,72 1,76	0,56 0,79 1,07 1,34 1,57	2,21 1,99 1,83 1,47 1,78

Приложение Б.
Критические границы отношения R/S

Объем выборки (n)	Нижние границы						Верхние границы
	Вероятность ошибки
	0,000	0,005	0,01	0,025	0,05	0,10	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005	0,000
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	1,732 1,732 1,826 1,826 1,821 1,821 1,897 1,897 1,915 1,915 1,927 1,927 1,936 1,936 1,944 1,944 1,949 1,949	1,735 1,83 1,98 2,11 2,22 2,31 2,39 2,46 2,53 2,59 2,64 2,70 2,74 2,79 2,83 2,87 2,90 2,94	1,737 1,87 2,02 2,15 2,26 2,35 2,44 2,51 2,58 2,64 2,70 2,75 2,80 2,84 2,88 2,92 2,96 2,99	1,745 1,93 2,09 2,22 2,33 2,43 2,51 2,59 2,66 2,72 2,78 2,83 2,88 2,93 2,97 3,01 3,05 3,09	1,758 1,98 2,15 2,28 2,40 2,50 2,59 2,67 2,74 2,80 2,86 2,92 2,97 3,01 3,06 3,10 3,14 3,18	1,782 2,04 2,22 2,37 2,49 2,59 2,68 2,76 2,84 2,90 2,96 3,02 3,07 3,12 3,17 3,21 3,25 3,29	1,997 2,409 2,712 2,949 3,143 3,308 3,449 3,57 3,68 3,78 3,87 3,95 4,02 4,09 4,15 4,21 4,27 4,32	1,999 2,429 2,753 3,012 3,222 3,399 3,552 3,685 3,80 3,91 4,00 4,09 4,17 4,24 4,31 4,37 4,43 4,49	2,000 2,439 2,782 3,056 3,282 3,471 3,634 3,777 3,903 4,02 4,12 4,21 4,29 4,37 4,44 4,51 4,57 4,63	2,000 2,445 2,803 3,095 3,338 3,543 3,720 3,875 4,012 4,134 4,244 4,34 4,44 4,52 4,60 4,67 4,74 4,80	2,000 2,447 2,813 3,115 3,369 3,585 3,772 3,935 4,079 4,208 4,325 4,431 4,53 4,62 4,70 4,78 4,85 4,91	2,000 2,449 2,828 3,162 4,465 3,742 4,000 2,243 4,472 4,690 4,899 5,099 5,292 5,477 5,657 5,831 6,000 6,164

Приложение В.
Процентные точки распределения Стьюдента