Статистическая обработка данных. Статистика денежного обращения (стр. 2 из 7)

и - это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая распределение вероятности и заданной степени свободы V.

Для

=0,95

и V=59 находим по таблице:

Подставляя в неравенства

и и произведя вычисления, получим интервальную оценку:

(59*0,809071) /83,2976<σ²< (59*0,809071) / 40,4817

0,573068<σ²<1,179179

Для

; и V=59 находим по таблице:

,

Подставляя в неравенства

и и произведя вычисления, получим интервальную оценку:

(59*0,809071) /91,9517<σ²< (59*0,809071) / 35,5346

0,519133<σ²<1,343343

Для интервальной оценки среднего квадратического отклонения имеем

При

σ = 0,899484

6,909064

0,757017<σ<1,085904

При

0,093802<σ< 0,368412

1.4 Результаты ранжирования выборочных данных вычисления моды и медианы

Используя исходные данные, записываем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х.

Таблица 1.4.1

Ранжированный ряд

1	14,4	11	15,15	21	15,61	31	15,88	41	16,4	51	17,02
2	14,44	12	15,15	22	15,64	32	15,93	42	16,4	52	17,12
3	14,85	13	15,22	23	15,68	33	15,96	43	16,52	53	17,26
4	15,01	14	15,22	24	15,7	34	16,05	44	16,6	54	17,36
5	15,02	15	15,26	25	15,78	35	16,26	45	16,62	55	17,38
6	15,03	16	15,28	26	15,8	36	16,29	46	16,67	56	17,39
7	15,04	17	15,31	27	15,81	37	16,3	47	16,75	57	17,7
8	15,07	18	15,38	28	15,81	38	16,31	48	16,84	58	17,78
9	15,1	19	15,41	29	15,85	39	16,38	49	16,91	59	17,94
10	15,12	20	15,59	30	15,86	40	16,38	50	16,91	60	18, 19

Интервал [14,40; 18, 19], содержащий все элементы выборки, разбиваем на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджесса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджесса длина частичного интервала равна:

= 0,548717225

Для удобства и простоты расчетов округляем полученный результат до сотых: h = 0,55

За начало первого интервала принимаем значение:

Х_о=Х_min - h/2 = 14,13

Х₁=Х₀ + h = 14,67

Х₂ = Х₁+h = 15,22

Х₃ = Х₂ + h = 15,77

Х₄=16,32

Х₅=16,87

Х₆=17,42

Х₇=17,97

Х₈ = 18,52

Вычисление границ заканчивается как только выполняется неравенство

Х_n >X _max: Х₈ = 18,52 > Х_max = 18, 19

По результатам вычислений составляем таблицу. В первой строке таблицы помещаем частичные интервалы, на второй строке - середины интервалов, в третьей строке записано количество элементов выборки, попавших в каждый интервал частоты, в четвертой строке записаны относительные частоты и в пятой строке записаны значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности (таблица 1.4.2).

Таблица 1.4.2

Значение выборочной функции и плотности

Интервалыh	[14,33;14,67)	[14,67;15,22)	[15,22;15,77)	[15,77;16,32)	[16,32,16,87)	[16,87;17,42)	[17,42;17,97)	[17,97;18,52)
	14,40	14,95	15,50	16,05	16,59	17,14	17,69	18,24
частотаni	2	12	10	14	10	8	3	1
	0,033333333	0,2	0,166666667	0,233333333	0,166666667	0,133333333	0,05	0,016666667
	0,060747744	0,364486462	0,303738718	0,425234206	0,303738718	0,242990975	0,091121615	0,030373872
	60,747744	364,486462	303,738718	425,234206	303,738718	242,990975	91,121615	30,373872

По результатам вычислений функции плотности, представленной в таблице 4.1 можно сделать вывод, что мода имеет один локальный максимум в окрестностях точки х=0.34 с частотой n=20.

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд

Т.к. N=2k, то k=N/2=30

Сравнение оценок медианы = 15,87 и оценки математического ожидания 16,0515 показывает, что они отличаются на 1,14 %.

1.5 Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдём параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона

где

и известны - они вычисляются по выборке.

=0,899484

=16,0515

Значения этой функции вычисляют для середин частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при

. На практике для упрощения вычислений функции , где i=1,2,…,k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины.

Для этого вычисляем значения

для i=1,2,…,k:

,

Затем по таблице находим значение