Перевірка статистичних гіпотез відносно невідомих значень параметрів визначеного розподілу (стр. 1 из 3)

Перевірка статистичних гіпотез відносно невідомих значень параметрів визначеного розподілу

1 Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей

Ця задача виникає в метрології при порівнянні точності приладів. Крім того, умова рівності дисперсій чи їхньої незмінності в процесі дослідження лежить в основі багатьох задач перевірки гіпотез про порівняння інших параметрів (математичного сподівання, коефіцієнтів кореляції та ін.).

Нехай генеральні сукупності

і розподілені нормально. По незалежних вибірках, узятих з цих сукупностей, з обсягами, які дорівнюють відповідно і , знайдено виправлені вибіркові дисперсії і . Необхідно за цими характеристиками при заданому рівні значущості перевірити нульову гіпотезу про те, що генеральні дисперсії даних сукупностей дорівнюють одна одній:

: .

Оскільки виправлені дисперсії є незміщеними оцінками генеральних дисперсій, тобто

, , нульову гіпотезу можна переписати також у такому вигляді:

: .

У якості критерію перевірки нульової гіпотези про рівність генеральних дисперсій візьмемо відношення виправлених дисперсій, тобто таку випадкову величину:

. (1)

Можна впевнитися, що величина F за умови справедливості нульової гіпотези має розподіл Снедекора – Фішера (9) з

і ступенями волі.

Таким чином, маємо нульову гіпотезу

: і конкуруючу гіпотезу : . У цьому випадку критична область при заданому рівні значимості є двосторонньою, обумовленою сукупністю співвідношень:

(2)

Однак, можна показати, що якщо чисельник відносини (1), що визначає випадкову величину

, більше знаменника, тобто якщо > і , то першу нерівність з перевіряти не потрібно, тому що вона виконується автоматично при невеликих рівнях значимості , що звичайно застосовують. При цьому перевірка гіпотези зводиться до перевірки тільки другої нерівності з . Це проводиться наступним чином: по таблиці критичних точок розподілу Снедекора – Фишера з і ступенями волі при вибраному рівні значимості відповідно (2) знаходять значення величини . Далі, якщо < , немає причин відкинути нульову гіпотезу, якщо > – нульову гіпотезу відкидають.

2 Порівняння виправленої вибіркової дисперсії з гіпотетичною генеральною дисперсією нормальної сукупності

Ця задача виникає в метрології під час перевірки точності роботи приладів, інструментів щодо припустимих характеристик розсіювання.

Нехай генеральна сукупність розподілена нормально, причому генеральна дисперсія

встановлена теоретично або на основі попередніх досліджень. Потрібно перевірити її значення на основі виправленої дисперсії з ступенями волі, яку отримано за вибіркою обсягу .

З огляду на те, що

є незміщеною оцінкою генеральної дисперсії, нульову гіпотезу можна переписати ще так:

: .

У якості критерію перевірки нульової гіпотези тепер доцільно взяти випадкову величину

, що, як можна показати, має розподіл , тому і має таке позначення. При конкуруючій гіпотезі : критична область при заданому рівні значимості , як і в попередньому випадку, є двосторонньою і визначається сукупністю співвідношень:

дісперсія генеральний сукупність

(3)

У таблиці критичних точок розподілу

, також як і для -розподілу раніше, зазначено лише праві критичні точки. Але на відміну від попередньої задачі тут необхідно врахувати обидві умови (3). Для цього ми застосуємо більш універсальний прийом, придатний в обох випадках. Він заснований на очевидній рівності:

.

Використовуючи її, ліву критичну точку можна шукати, так само, як і праву.

Для перевірки нульової гіпотези необхідно обчислити значення критерію,

, що спостерігається, і знайти ліву та праву критичні точки , , відповідно.

Якщо при цьому,

– немає причин відкинути нульову гіпотезу, її приймають. Якщо чи – нульову гіпотезу відкидають.

3 Порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей, дисперсії яких відомі (незалежні вибірки)

Нехай генеральні сукупності

і розподілені нормально, причому їхні дисперсії відомі (з попереднього досвіду чи теоретично). По незалежних вибірках, обсяги яких дорівнюють відповідно і , взятих з цих сукупностей, знайдено вибіркові середні і .

Потрібно з вибіркових середніх при заданому рівні значущості

перевірити нульову гіпотезу про те, що генеральні середні (математичні сподівання) розглянутих сукупностей рівні між собою, тобто: