Перевірка статистичних гіпотез відносно невідомих значень параметрів визначеного розподілу (стр. 3 из 3)

З огляду на те, що вибіркова середня є незміщеною оцінкою генеральної середньої, тобто

, нульову гіпотезу можна переписати у вигляді: .

У якості критерію перевірки нульової гіпотези візьмемо таку випадкову величину

,

яку можна показати, при справедливості нульової гіпотези, є нормованою нормальною величиною.

Далі обчислюємо значення критерію, що спостерігається:

(5)

і по таблиці Лапласа знаходимо критичну точку двосторонньої критичної області зі співвідношення

.

Якщо

– немає причин, щоб відкинути нульову гіпотезу; при – нульову гіпотезу відкидають.

7 Порівняння вибіркової середньої з гіпотетичною генеральною середньою нормальної сукупності (при невідомій генеральній дисперсії)

У випадку невідомої генеральної дисперсії у якості критерію перевірки нульової гіпотези

: при конкуруючій гіпотезі приймають випадкову величину

,

де

– "виправлене" середнє квадратичне відхилення. Можна показати, що величина підкоряється -розподілу Стьюдента з ступенями волі.

Критична область будується так само, як описано вище. Далі обчислюється значення критерію, що спостерігається:

(6)

та по таблиці критичних точок розподілу Стьюдента при заданому рівні значущості

і числі ступенів волі знаходиться критична точка у відповідності до умови .

Якщо

– немає причин відкинути нульову гіпотезу і її приймають; при нульову гіпотезу відкидають.

8 Зв'язок між двосторонньою критичною областю і довірчим інтервалом

Очевидно, що під час побудови двосторонньої критичної області при заданому рівні значущості

попутно визначається і відповідний довірчий інтервал для значень, що приймаються випадковою величиною з надійністю . Перевірка нульової гіпотези : при : проводилася на основі умови, що ймовірність влучення критерію в двосторонню критичну область дорівнювала б рівню значущості , отже, ймовірність влучення критерію в область прийняття гіпотези дорівнює . Тобто з надійністю виконується нерівність

,

або рівносильна їй нерівність

, (7)

де

визначається з рівності .

Подвійна нерівність (7) є довірчим інтервалом для оцінки математичного сподівання

нормального розподілу при відомому із надійністю .

9 Визначення мінімального обсягу вибірки при порівнянні вибіркової і гіпотетичної генеральної середніх

Дуже важливою практичною задачею є визначення мінімального обсягу вибірки, що є необхідним для одержання на її основі обґрунтованих висновків щодо генеральної середньої з наперед заданою точністю

(її смисл – гранична величина різниці між вибірковою і гіпотетичною генеральною середніми).

Наприклад, звичайно потрібно, щоб середній розмір виготовлених деталей відрізнявся від номінального розміру не більше ніж на задану величину

. Для проведення контролю з партії виготовлених деталей (генеральна сукупність) відбирається вибірка. Треба з'ясувати, яким має бути мінімальний обсяг цієї вибірки, в якій відсутні браковані деталі, щоб з ймовірністю , де – рівень значущості, гарантувати, що і в усій партії їх зовсім немає?

Як показано в попередньому пункті, задача визначення довірчого інтервалу для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому

і задача відшукання двосторонньої критичної області для перевірки гіпотези про рівність вибіркової середньої гіпотетичній генеральній середній нормальної сукупності зводяться одна до одної. Тому з формули (5) при заміні на та на випливає, що мінімальний обсяг вибірки має дорівнювати:

,

де

знаходиться з рівності .

При невідомому

аналогічно скористаємося формулою (6), замінюючи на . Тоді:

.