Перевірка статистичних гіпотез відносно невідомих значень параметрів визначеного розподілу (стр. 2 из 3)

: .

Конкуруючою гіпотезою є

: .

З огляду на те, що вибіркові середні є незміщеними оцінками генеральних середніх, тобто

і , нульову гіпотезу можна записати ще інакше:

: .

У якості критерію перевірки нульової гіпотези візьмемо випадкову величину

, (4)

яка є нормованою нормальною розподіленою випадковою величиною [2].

Двосторонню критичну область будуємо, виходячи з вимоги, щоб імовірність влучення критерію в цю область у припущенні справедливості нульової гіпотези дорівнювала б прийнятому рівню значущості

.

Можна показати, що найбільша потужність критерію досягається при рівності ймовірностей улучення критерію в кожний із двох інтервалів критичної області, тобто при

, .

Із симетрії нормованої нормальної величини випливає симетрія і критичних точок, тобто

. Тому для визначення двосторонньої критичної області досить знайти праву границю її області, використовуючи функцію Лапласа і таблицю її значень за формулою:

чи

.

Далі треба обчислити значення критерію, що спостерігається

.

Якщо виявиться, що

, то причин відкинути нульову гіпотезу немає і її приймають, у противному випадку ( ) – нульову гіпотезу відкидають.

4 Порівняння двох середніх довільно розподілених генеральних сукупностей (великі незалежні вибірки)

У попередній задачі передбачалося, що генеральні сукупності

і розподілені нормально, а їхні дисперсії відомі. Тільки при всіх цих припущеннях у випадку справедливості нульової гіпотези про рівність середніх у незалежних вибірках критерій (4) є нормальною нормованою величиною. Під час невиконання хоча б однієї з цих умов метод порівняння середніх, що розроблено під час розв’язання попередньої задачі, є неприйнятним.

Однак, якщо незалежні вибірки мають великий обсяг (

30), можна показати, що вибіркові середні розподілені приблизно нормально, а вибіркові дисперсії і є досить гарними оцінками генеральних дисперсій, тому їх можна вважати приблизно відомими. Відповідно, критерій

,

що є аналогом критерію (4), має приблизно нормальний розподіл з параметрами

(за умови справедливості нульової гіпотези) і (якщо вибірки незалежні). Тому в цьому випадку можна застосувати метод, розвинутий під час вирішення попередньої задачі, замінивши точний критерій наближеним критерієм .

5 Порівняння двох середніх нормальних генеральних сукупностей, дисперсії яких невідомі й однакові (малі незалежні вибірки)

Нехай генеральні сукупності

і розподілені нормально, причому їхні дисперсії невідомі. Наприклад, по вибірках малого обсягу не можна одержати гарні оцінки генеральних дисперсій. Тому не можна застосувати метод порівняння середніх, викладений раніше.

Однак якщо додатково припустити, що невідомі генеральні дисперсії є рівними між собою, то можна побудувати критерій (Стьюдента) порівняння середніх. Наприклад, якщо порівнюються середні розміри двох партій деталей, виготовлених на тому ж самому верстаті, то логічно допустити, що дисперсії розмірів, які контролюються, є однаковими.

Якщо ж немає причин вважати, що дисперсії однакові, то, перш ніж порівнювати середні, необхідно за допомогою критерія Снедекора-Фішера (1) попередньо перевірити гіпотезу про рівність генеральних дисперсій.

Далі в припущенні, що генеральні дисперсії однакові, перевіримо нульову гіпотезу

: . Тобто встановимо, значимо чи незначимо розрізняються вибіркові середні і , що знайдені по незалежних малих вибірках з обсягами і .

Для перевірки нульової гіпотези у якості критерію застосуємо випадкову величину

,

що, як доведено [5], при справедливості нульової гіпотези має

-розподіл Стьюдента з ступенями волі.

Під час перевірки нульової гіпотези з конкуруючою гіпотезою

: критична область має двосторонній характер. Її будують, виходячи з вимоги, щоб ймовірність влучення критерію Т в цю область у припущенні справедливості нульової гіпотези дорівнювала б прийнятому рівню значущості .

Можна показати, що найбільша потужність критерію досягається при рівності ймовірностей влучення критерію в кожний із двох інтервалів критичної області, тобто при

, .

Із симетрії

-розподілу Стьюдента випливає симетрія і критичних точок, тобто . Тому для визначення двосторонньої критичної області досить знайти праву границю її області в таблиці критичних точок розподілу Стьюдента при заданому рівні значущості. Зі знайденим таким способом значенням зіставимо значення критерію, що спостерігається:

.

Якщо

, немає причин відкинути нульову гіпотезу, її приймають, у разі – нульову гіпотезу відкидають.

6 Порівняння вибіркової середньої з гіпотетичною генеральною середньою нормальної сукупності (при відомій генеральній дисперсії)

Нехай генеральна сукупність

розподілена нормально з дисперсією , причому невідома генеральна середня приблизно дорівнює значенню .

Потрібно по вибірковій середній

, що отримано з вибірки обсягом , при заданому рівні значущості перевірити нульову гіпотезу : про рівність генеральної середньої гіпотетичному значенню . Конкуруючу гіпотезу візьмемо у вигляді: .