х. ои
nEx=v\px, або
При укладанні договору страхування життя, умови якого передбачають страхову
подію «хвороба застрахованої особи» або страхову подію «тимчасова непрацездатність
застрахованої особи внаслідок нещасного випадку», дійсна вартість одиниці страхової
np
виплати а х п за кожний день хвороби (непрацездатності) визначається ймовірністю
і пропорційна до значень середньої за рік кількостіM(L) днів хвороби (тимчасової
непрацездатності) і середньої за рік кількостіM(N) захворювань для застрахованої особи
та обчислюється за допомогою співвідношення
пр «4
«ТТТ =M(L)M(^TJV^\pxqZ
t=о
Де qnxp - імовірність настання протягом року хвороби (тимчасової непрацездатності)
для застрахованої у віці х років особи. При цьому випадок п = <х> визначає дійсну вартість
страхового ануїтету без обмеження терміну дії договору
пр
а-^— = апр
х. X
Дійсна вартість страхових ануїтетів пренумерандо (позначення з двома
крапками над виразом) у розрахунку на одну грошову одиницю річних платежів або
виплат визначається аналітично або за допомогою комутаційних чисел через дійсну
вартість відповідних ануїтетів постнумерандо (позначення без крапок над виразом) таким
чином:
» 1 « " NX
а = 1 + а , або аг = ,
л л J л j ^
п N -N
a-r^\=ax~v пРхах+п, або а IbUb+iL
х- п І 1 х: п
Дійсна вартість страхових ануїтетів з виплатамиm раз на рік (позначення з верхнім
індексом (т)) у розрахунку на одну сумарну за рік грошову одиницю страхових платежів,
або виплат визначається для випадків постнумерандо та пренумерандо через відповідні
річні ануїтети такими формулами:
,тЛ т-1 .. т +1
ах = ах + ах;,.г„ч да + 1 .. да-1
аГ = + ;|
2т 2т (т) | m-1 .. | m +1 |
| а г | - = a г | - + , |
| x: n | 2m x- " | 2m |
| .Xm) | m +1.. | m-1 |
| а г | - = a | r + |
| x: n | 2m x- n | 2m |
а-
а-
Дійсна вартість одиниці страхових виплат для договорів страхування життя з
негайною виплатою страхової суми в разі настання страхової події (позначення з рискою
над виразом) визначається за допомогою співвідношень:
x. n
x. n
I . -1і 1
J Лх І А г =-,А-
J л ' J х\ п \ gj х\ п
де J =ln(1 + і) — інтенсивність річної ставки і інвестиційного доходу. Дійсна
вартість страхових ануїтетів, які відстрочені наw років (позначення з бічним індексом
визначається аналітично, або за допомогою комутаційних чисел такими
N
\а -vw р а ^ , або \а = х+и,+1
М>\ X W -Г х Ш' w \ X р.
І І N
= , або =
TV -TV
L г, або —г = —^^ *±™±"±L
w\ Х\П\ 1 х X+W\n\ 7 x\n\і і N -N
\a =v^wp a г, або J= ^^
W I ^ Л Я+ЖЛ ' W jA
Розрахунок нетто-премій за договорами страхування життя. Нетто-премії
розраховуються на підставі принципу еквівалентності зобов'язань, що їх беруть страховик
(страхові зобов'язання) та страхувальник (зобов'язання сплати страхових внесків) на час
укладення договору страхування (принцип еквівалентності дійсних вартостей
зобов'язань).
Наведені щойно співвідношення дають змогу обчислювати нетто-премії (у разі
сплати премій пренумерандо) для договорів страхування життя, які враховують настання
однієї, кількох або всіх зазначених страхових подій.
Розмір нетто-преміїN за кожним договором страхування життя визначається
співвідношенням
N=TS,
де Т — нетто-тариф страхового внеску з одиниці страхової суми;
S — страхова сума за укладеним договором страхування життя.
Якщо умови договору страхування життя передбачають настання кількох страхових
подій, нетто-премія за таким договором страхування розраховується як сума відповідних
нетто-премій для кожної страхової події.
При визначенні нетто-премій актуарій прогнозує значення річної ставки і
інвестиційного доходу залежно від терміну дії договору страхування. Розрахункове
значення річної ставкиi' інвестиційного доходу може коригуватися з урахуванням
значення річної ставки інфляціі'Уза формулою:
г =—— »/- f
l + f J
При розрахунку нетто-преміїN лише на випадок дожиття застрахованої у віці х
років особи до закінчення строку дії договору страхування (п — кількість років дії
договору страхування), величина нетто-премії визначається пропорційно до величини
страхової сумиS:
у разі сплати страхової премії одноразово: N=nExS
у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених
Е
договором страхування k років: N = " х S, к<п
a х:к\співвідношеннями:
При розрахунку нетто-премії лише на випадок настанняj-ї страхової події нетто-
премія пропорційна до страхової сумиS, яка виплачується негайно після настання
N =
lx
ах
при страхуванні на строкn років у разі сплати страховоїпремії
одноразово:
N=JA'— S
J х.п\
при страхуванні на строкn років у разі сплати річних страхових
премій протягом перших обумовлених договором страхуванняк років:
N = S, к<п
a—г
x:n|
При розрахунку нетто-премії на випадок настання страхової події «хвороба
застрахованої особи» або страхової події «тимчасова непрацездатність застрахованої
особи внаслідок нещасного випадку», коли умовами договору передбачається
послідовність страхових виплат розміромS за кожний день хвороби (непрацездатності),
нетто-премія визначається співвідношеннями:
при довічному страхуванні в разі сплати страхової премії одноразово:
N = ах S;
при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій
протягом перших обумовлених договором страхування кроків:
— np
N = —S
a—г
x:n
при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій
довічно:
—np
N = —S
при страхуванні на строкn років у разі сплати страхової премії
одноразово:
N = a"S
х.п\
при страхуванні на строк п років у разі сплати річних страхових
премій протягом перших обумовлених договором страхуванняк років:
страхової події, і визначається співвідношеннями:
при довічному страхуванні в разі сплати страхової преміїодноразово:
N=jAxS
при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій
протягом перших обумовлених договором страхуванняк років:
N = ——S,
a x: k
при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій
довічно:
N = — {Јn\S+\d—R
" я I WI xr.n-W
CI--,
x:k
Залежність нетто-тарифу від запланованої кількості договорів. Наведені
формули розрахунку нетто-премій являють собою математичне сподівання виплат
страховика і задовольняють резерви компанії за договорами страхування життя в разі
багатьох (кількох тисяч) договорів. При плануванні меншої кількості договорів наведені
формули слід коригувати з урахуванням середньоквадратичного відхилення ануїтетів
виплат та платежів. Розглянемо, як це потрібно робити.
Тариф Т0 розрахованих нетто-премій збільшують на значення у ризикової надбавки
ЛТ так, щоб виконувалася рівність
Т=Т0+\Т.
Ризикова надбавка до нетто-тарифу визначається з урахуванням запланованої
кількостіN договорів страхування рівнем у довірчої ймовірності (у є [0,9; 0,99]),
квантилем нормального розподілу ty рівня у і обчислюється за формулою:
де О — стандартне відхилення тарифу розрахованої нетто-премії.
Стандартне відхилення О(Т) залежить від дисперсії ануїтету виплат, нормується
розміром ануїтету платежів і визначається для кожного типу договору страхування
окремо:
• при довічному страхуванні лише на випадок настанняj-ї страхової
події для застрахованої у віці х років особи, якщо страхова премія сплачується
одноразово i негайно виплачується одиниця страхової суми в разі настання страхової
події: