6.3. Вирівнювання таблиць смертності
Згладжування (або вирівнювання) таблиць смертності дає змогу аналітично описати
результати практичних спостережень, об'єднаних у таблиці смертності. Швидкодія
комп'ютерів значно знизила актуальність цієї проблеми.
Протягом історії були запропоновані різні формули, зокрема, формула Муавра
(Moivre):
їх = 86-х
і формула Санга (Sang):
їх = а + b - сx.
Насправді шукали, як згладити річний показник смертності: qx = ——, що
їх
відрізняється трохи від миттєвого показника
Часто для пропонували алгебраїчну формулу Гомпертца (Gompertz), який у 1825
році запропонував:
Hx = в*сх, де с > 1, в > 0
Миттєві показники змінювалися в геометричній прогресії залежно від віку.
Макейм (Makeham) додав ще один параметр , що не залежить від віку, який враховує
смертність у результаті нещасного випадку:
nx = а+в+сх, де а > 0, с > 1, р > 0
що призводить до
lx=kxsxxg(<*)
тому що
х
lx=lx(jXe'0 =іх0е = Іх0ет0 хе-т хе logc logc = lx0e logc хе logc -
= lx=kxsxxg<
(c )
Де:
«о^» -fi-
le = lx0e logc , s = e~a, g = e logc.
Причиною спроб подібного згладжування, головним чином, є можливість спростити
розрахунок, коли мова йде про групи людей.
Одна група з п осіб може бути замінена при розрахунку ризику однією фіктивною
особою, що має еквівалентний вік є, такий, що
є хі . х2 . . хп
пс = С + С +... + С
Ознайомившись із звичайними і згладженими таблицями смертності та перед тим як
перейти до їхнього застосування розглянемо принципи аналізу груп осіб у трьох простих
випадках.
Дожиття груп з п осіб за період t
Нехай є група осіб у віціXj,Х2 хп. Як ми вже бачили, для незалежних подій Е іF
ймовірність настання цих двох подій р^глF дорівнює: p(E)p(F), тому що
дожиття окремої людини не залежить від дожиття інших людей, можна записати:
tP(xlx2.. ,хп) - tPx1 х tPx2.. ,tPxn
Це вираження ймовірності того, що всі члени групи будуть живі черезt років:
N lx,+t ІХ-у +1 їх +1
tP(X,X-j ...x„) = — X — X ... X —
їх їх Ix
wv^ /л 2 /Л
Ймовірність смерті двох осіб протягом періоду t
Беремо ту саму групу. Запитання: яка ймовірність того, що усі її члени помруть
протягом періодуt?
Позначимо цю ймовірність через tqx^... x„
Стосовно до групи з двох осіб ця ймовірність tqху, tqху — tq" xtqy, а ймовірність
дожиття групи, що вважається зниклою в разі смерті останнього учасника,
tP-=\-t%=\-tq* хЛ
У той же час, tqx=l-px, tqy= l-tPy => tp^=tpx+xpy-tpxtpy
Ця формула особливо придатною буде для випадку виплат, перекладених з однієї
особи на іншу.
Ймовірність дожиття двох осіб
Припустимо, є група з трьох осіб х, у, z.
Розглянута подія яка полягає у тому, що до моменту закінчення термінуt із цієї
групи точно дожили дві особи, може реалізуватися трьома різними способами: