Якщо А - це максимальне значення, якого може досягати кожна випадкова величина,
то можливі значення загальної суми виплат страховикаSn з математичним очікуванням пР
знаходяться в інтервалі від0 до пА. Розподіл ймовірності величиниSn на інтервалі[0,пА.]
не є рівномірним.
Оскільки п — велике, то найбільш ймовірні значенняSn знаходяться в інтервалі
набагато меншому, ніж[0,пА], і майже достовірно, щоSn буде мало відрізнятися від
значення пР.
Насправді, закон великих чисел для випадкових незалежних величин Хи (можливість
здійснити виплату за одним договором не залежить від виплат за іншим договором)
свідчить, що стандартне відхилення їх суми обмежене величиною сгуГп .
Стосовно цього може бути застосована теорема Чебишева, яка стверджує:
а
Тобто, ймовірність того, що відхилення реальних виплат страховикаSn від їхнього
математичного очікування пР буде нижче аст4п , оцінюється принаймні як
Якщо хочуть збільшити вірогідність, то значення а беруть, наприклад, рівним10.
Ймовірність того, що відхиленняSn від пР не перевищувало
б ІОсгл/й, буде99,0%.
З такою ймовірністюSn буде знаходиться в інтервалі від пР-ІОсту/п до
пР + 10сг4п
, величина цього інтервалу дорівнює 20а4п і центр знаходиться в точці пР.
Величину цього інтервалу стосовно величини можливого розкиду значеньSn, що
знаходиться в межах від 0 допА, тобто до величини інтервалу пА , становить
співвідношення:
20<у4П
nA
яке тим менше, чим більше п.
Отже, для великих значень п безліч найбільш
ймовірних значеньSn є лише
невеликою частиною безлічі всіх можливих значень, тим меншим, чим більшеn. Причому
S„-nP астуїп
Страховик В згодний виплатити страхувальникуZ суму сучасною вартістю в1 грн,
якщо подіяF настала, за умови, що відбулася подія Е, і запитує одноразову премію, рівну
ймовірності настання подіїF за умови настання події Е. Нехайn(F/E) — величина цієї
премії.
СтрахувальникZ повертається до страховикаА і просить його застрахувати на суму
не в1 грн, а на суму, еквівалентнуn(F/E) на випадок, якщо подія Е наступила.
СтрахувальникZ зараз заплатить страховику А:
пЕ у-п^/Е ^
Що може відбутися:
а) якщо подія Е відбувається, страхувальникZ одержує від страховика А суму
n(F/E);
б) якщо Е не відбувається, страхувальникZ не отримує нічого;
в) якщо Е відбувається, страхувальникZ несе отриману від страховикаА суму до
страховика В, що гарантує йому виплату вартістю в1 грн у випадку настання подіїF.
ЯкщоF не відбувається, він не отримує нічого.
СтрахувальникZ заплатить у підсумку пЕ уп^/Е __ і одержить1 грн якщо Е іF
відбудуться.
СтрахувальникZ може, припустимо, знайти ще страховика С, який за ту ж
витрачену суму п С j<п С//*- , гарантує йому виплату суми, еквівалентну1 грн при
настанні подій Е іF. Цю одноразову премію, яка буде, відповідно до припущення,
дорівнювати ймовірності настання двох подій Е іF, позначимо якn^r\F . Отже,
пЕ nFj= пЕ^пЕ/E^
За принципом симетричності, маємо:
Дві події називають незалежними, якщо одноразова премія, що відноситься до події
F, не залежить від настання події Е, відповідно:
n^/Fyn^/ЁУк
причому Е - означає не настання події Е. Інакше кажучи,
r\F~j-n^ C\F = F
Тоді ^ ^
nEj<nF/ЕУ EJf nF/Ej=
= n E J< K + n E у K =
із цього отримуємо
Ймовірність настання двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей
настання кожної розглянутої події.
Цей висновок дуже важливий для варіанта страхування життя, яке стосується більш
ніж однієї людини, бо при цьому припускають, що дожиття однієї особи х - це подія, яка
не залежить від дожиття іншої особи і всіх інших. Отже, наприклад, ймовірність того, що
дві особи X і у будуть живі черезt років, буде
р = р р
t х,у t -1 x't -1 у
3. ЧИСТА ПРЕМІЯ. СУЧАСНА ЙМОВІРНА ВАРТІСТЬ
Чистою премією за договором є ціна покриття ризику окремо від витрат на ведення
справи і без маржі прибутку страховика.
Можна припустити, що на певний момент для конкретних обставин чиста премія
всіх страховиків повинна бути однаковою. Але це не так, оскільки в обліку господарської
діяльності страховика об'єднуються фінансові прибутки, отримані від зібраних премій, що
цілком природно, тому що договори страхування життя є довгостроковими, і показники
управління фінансами, які змінюються залежно від того, хто є страховиком. Крім того,
страховик не зобов'язаний брати на себе всі ризики. Він може удатися до більш-менш
суворого добору, який вплине на результат. Отже до того, щоб використовувати для
визначення справедливого розміру чистої премії принцип подвійної рівності, а саме:
а) фінансової рівності на день укладання договору сум, які повинні бути
сплачені або отримані протягом більш-менш тривалого проміжку часу;
б) рівності випадків на день укладання договору сум, що повинні бути сплачені
або отримані у випадку настання обговорених у договорі подій, що досягається через
використання коефіцієнта, який враховує інтенсивність ризику.
Одночасне застосування цих двох принципів приводить до появи поняття сучасна
ймовірна вартість(valuer actuelle probable -VAP) взаємних зобов'язань страховика і
страхувальника.
Розглянемо кожен з компонентів окремо, і почнемо з фінансової рівності.
У фінансовій математиці стало вже класичним враховувати, що сума С0, розміщена
під середню річну процентну ставку І на термінt років, дає по закінченні терміну суму:
С = С0(1 + і/
Зворотний випадок: страховик, щоб мати черезt років суму С, повинен розмістити
С
сьогодні в момент укладання договору суму С0 < С, де С0 = ———
Рівність випадків означає, що в разі ймовірності настання події Е, яка тягне за собою
виплату суми С, ймовірність дорівнює р(Е), ймовірний розмір зобов'язання страховика
дорівнює С х р(Е) <С
Дійсно, р(Е) + р(Е) = 1 отже р(Е) <1. Е являє собою випадкову подію, яка
полягає в тому, що подія Е не настала.
Справді, якщо подія Е являє собою, наприклад, "смерть страхувальника", а подія E -
"страхувальник живий у цей момент часу", то зрозуміло, що сума ймовірностей подій Е й
E дорівнює1, тому об'єднання цих двох подій є достовірною подією.
Сучасна ймовірна вартість зобов'язань страховика в цьому випадку буде:
С х р(Е)
VAP - ■
(1 + і/
4. ФАКТОРИ, ЯКІ ВПЛИВАЮТЬ НА СТУПІНЬ РИЗИКУ
ПРИ СТРАХУВАННІ ЖИТТЯ
Ймовірність настання випадкової події Е при страхуванні життя - це ймовірність
того, що застрахований або група застрахованих будуть живі на визначений момент часу.
Позначимо її через р(Е).
Його доповнення рЩ, = 1 — р^^ - це ймовірність того, що застрахований помре на
цей момент часу.
Численні фактори можуть втручатися і впливати на розміри цих ймовірностей.
На основі практики були визначені такі фактори:
вік, як переважаючий фактор;
професія, яка є більш важким для оцінки параметром;
стать (смертність у чоловіків вища, ніж у жінок);
країна, кліматичні умови;
спосіб життя;
- ступінь розвитку медицини і гігієни, це прогресуючий фактор, що веде до
збільшення тривалості людського життя.
Необхідно також відзначити, що тільки при особистому страхуванні страховик не
зобов'язаний приймати всі ризики, які були запропоновані. Він може здійснювати добір
при прийомі на страхування або використовувати підвищувальні коефіцієнти у випадку
небезпечних ризиків.
Ця ідея добору приводить до згрупування застрахованих за гомогенними групами,
однорідними стосовно ризику смертності.
5. ОСНОВНІ ЙМОВІРНОСТІ, ЯКІ ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ ПРИ
СТРАХУВАННІ ЖИТТЯ
Ймовірність дожиття
У початковий момент часу0 окрема людина у віці х років має тривалість життя, що
залишилася, Тх, яка є випадковим розміром. Закон розподілу ймовірностей Тх буде
називатися функцією дожиття і запишеться як І/'х = р 4.x > і
деt — дійсне позитивне число.
Стосовно до того, що вже було розглянуто,tPx являє собою одноразову премію за
зобов'язанням виплатити суму, еквівалентну і грн, якщо застрахований доживе до
моменту часуt .
Реальна тривалість людського життя обмежена віком, який будемо позначати через
і0. Тоді
^хРх=Р4х><°-ХУ0Л
0РХ=1,
Р =0
со-х X
1Рх абоPx буде називатися річним відсотком дожиття.
Ймовірність настання смерті
Позначимо черезt/t q ймовірність того, що людина у віці х років помре між
моментами часуt іt+і, тобто ймовірністьp[t < Tx < t + tЦ.
Тим часом, ймовірність того, що Тх > t, може реалізуватися двома несумісними
способами:
або t < Tx < t + t' або Тх > t +t'.
Отже,
p(Tx>t)= p[t< Tx<t +t'] +p[Tx>t + t'].
Це можна записати:
tpx= tlt'qx +t + Ґрх,
звідки
tlt'qx = tpx-t - t'px,
якщо t=0
It'qx = l-t'px,
1qx = qx = 1 - 1px = 1-px,
деqx - це річний відсоток смертності і, зрозуміло, рх + qx = 1. Ймовірність того, що
застрахований у віці х років помре протягом рокуt, буде: