На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A· X+B=0 (A0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел. [1]
6. Векторные и матричные числа.
В дальнейшем стали разыскивать некие трехмерные числа, которые моделировали бы векторные величины в пространстве с его тремя координатными осями.
Бился над этой задачей и ирландский ученый Гамильтон. После 15-ти лет работы в 1843 году Гамильтон придумал таки трехмерные числа a + bi + cj + dk, где i = j = k и откладываются каждый на своей оси. Такие числа - комплексные a + bi и мнимые cj и dk по двум дополнительным осям – Гамильтон назвал кватернионами (quaterni в переводе с латыни – четыре). Позже, в 1853 году, как вариант кватернионов, Гамильтон предложил более удобные числа bi + cj + dk и назвал их векторными числами.
Векторные числа + тензорные величины породили матричные числа.
Алгебраические операции над векторными величинами создали многоэлементные числовые объекты, названные по предложению Эйнштейна тензорными величинами. Для их моделирования Артур Кэли в 1850 году ввел числа, в которых элементы (более трех) записывались уже квадратными и прямоугольными таблицами (матрицами) и рассматривались как единый числовой объект.
Выделим особенность всех сложных (комплексных, векторных, матричных) чисел: они моделируют сразу два свойства – количество и направление моделируемых величин. [5]
7. Трансфинитные числа.
В 1883 году немецкий ученый Георг Кантор, по-видимому, оценив многовековую историю последовательного обобщения чисел, в которой натуральные числа были обобщены рациональными, а те в свою очередь – действительными, те – комплексными, те – векторными, те – матричными, создал на этом материале свою теорию трансфинитных (бесконечных, запредельных) чисел.
Для этого он назвал множеством всякий набор элементов, который можно сопоставить с частью самого себя, как например, целые числа сопоставляются с четными числами:
Кантор заметил, что такое множество должно содержать бесконечное число элементов. А если эти элементы сопоставимы с множеством натуральных чисел, то их количество образует первое трансфинитное число 0א (алеф-нуль – с иврита). Но множество א0 тоже бесконечно много, и они вместе, как количество элементов нового множества, образуют следующее трансфинитное число א1 . И так далее…
Кантор долго анализировал трансфинитные числа и установил, что они могут моделировать либо просто количество (тогда это количественные, кардинальные трансфинитные числа, например – множество учеников в классе), либо количество и направление (тогда это порядковые, ординальные трансфинитные числа, например – то же множество учеников, но упорядоченное по успеваемости). Но эти свойства (количество и направление) успешно моделируются числа меньших уровней обобщения. А таблица чисел подсказывает закономерность: чтобы стать абстрактнее, новые числа должны моделировать больше, развиваясь от уровня к уровню либо экстенсивно, меняясь количественно (например, в учете моделирующих элементов числами уровней 1, 2, 3: натуральные + ноль + отрицательные + иррациональные; или в учете моделируемых направлений числами уровней 3, 4, 5, 6: одномерно-двумерные-трехмерные-многомерные и т.п).
Уж очень смелой и заманчивой представлялась для многих идея выйти "в открытый Космос" трансфинитного канторовского "зазеркалья", за границы обычных конечных натуральных чисел, которые, по очень глубокому замечанию Леопольда Кронекера, "создал Господь Бог". Я думаю, ближе всех к рациональному объяснению столь нетрадиционного для классической математики "поведения" оказался Брауэр, который в конечном счете был вынужден "диагностировать" всю канторовскую теорию в целом как "патологический казус в истории математики, от которого грядущие поколения математиков просто придут в ужас".
Однако несомненная историческая заслуга Кантора состоит в том, что он первый от спекулятивных рассуждений о возможности или невозможности актуальной бесконечности перешел к ее практическому, логико-математическиму употреблению! А это значит, что благодаря Кантору понятие актуальной бесконечности впервые стало доступно для строгого, формально-логического (конечно, в смысле классической логики Аристотеля) и математического анализа.
8. Развитие функциональных чисел.
Мариупольский математик С.Ф.Клюйков также внес свой вклад в определение понятия числа: «Числа - это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания». Он же внес в традиционную классификацию чисел так называемые «функциональные числа», имея в виду то, что во всем мире обычно именуют функциями.
История зарождения и развития функциональных чисел чрезвычайно длительна и богата. Их совершенствовали уже ученые Древнего Востока (Х в. до н. э.), находя объемы сосудов для зерна, сдаваемого в виде налога; античные греки (III в. до н.э.), исследуя конические сечения; Галилей (1638 г.), проверяя опытом свои формулы движения тел. Впервые ясно и отчетливо функциональные числа были представлены Лагранжем (1797 г.) в теории функций действительного переменного и ее приложении к разнообразным задачам алгебры и геометрии. Однако в наши дни функциональные числа продолжают совершенствовать, несмотря на громадный накопленный опыт: весь математический анализ с его бесконечными рядами, пределами, минимумами и максимумами, с дифференциальным, интегральным и вариационным исчислением, уравнениями и методами их решения.
Но еще более значительными были успехи математики при добавлении способности моделировать функциональную зависимость комплексным числам (Даламбер, 1746 г.). Так возникли комплексно-функциональные числа (9-ый уровень обобщения) в форме функций комплексного переменного, с помощью которых были построены многие полезные математические модели сложных процессов, упрощенно доказательство многих теорем, выполнено описание двухмерных векторов, скалярных и векторных полей, отображение одной плоскости на другую и т.д.
Благодаря соединению способности моделировать функциональную зависимость с векторными числами (Гамильтон, 1853 г.), возникли векторно-функциональные числа (10-ый уровень обобщения). А это – векторный анализ, векторные функции, моделирование переменных полей в сплошных средах и многие достижения теоретической физики.
Добавление матричным числам способности моделировать функциональную зависимость (Клебш, 1861 г.) создало матрично-функциональные числа (11-ый уровень обобщения), а с ними: алгебру матриц, матричное представление линейных векторных пространств и линейных преобразователей, много новых математических моделей, тензорный анализ пространств с кривизной. теорию поля в физике и т.д. [1]
Если добавить трансфинитным числам Кантора способность моделировать функциональную зависимость, то возникнут новые, трансфинитно-функциональные числа (12-ый уровень обобщения), функции трансфинитного переменного, которые, благодаря максимальному на сегодняшний день обобщению, позволят с большей простотой и стандартностью промоделировать все доступное предыдущим числам и откроют новые перспективы в моделировании еще более сложных задач.
Заключение.
Число является одним из основных понятий математики, оно зародилось в глубокой древности. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.
Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ - вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.
Около 3 - 2,5 тыс. лет до новой эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. - изображались специальными значками - иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса.
Величина числа, записанного в иероглифической системе, не зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки. Даже если записать их справа налево, один под другим или вперемешку - число от этого не изменится.
В результате упрощений и стилизаций от иероглифов позднее произошли условные знаки, облегчающие письмо от руки. Они легли в основу так называемого иератического письма (от греч. "иератикос" - "священный"). Эту систему записи чисел можно обнаружить в более поздних египетских папирусах.
С развитием алгебры, уже при решении линейных уравнений с одним неизвестным, возникает необходимость в отрицательных числах. Еще до нашей эры их стали употреблять китайские математики. Широко использовали отрицательные числа и индийские математики (Брахмагупта, VII в.). Замечательным достижением индийских математиков было введение понятия нуля и знака для него, что позволило им создать десятичную систему записи натуральных чисел и разработать правила операций над записанными так числами. Эту запись чисел стали применять математики многих восточных стран, откуда она попала в Европу.