Классификация математических моделей, используемых в экономике и менеджменте (стр. 10 из 11)

2.2.6 Задача о замене

Одной из важных экономических проблем, с которыми приходится встречаться на практике, является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т. д., другими словами, старого оборудования — на новое.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на его ремонт и обслуживание, а вместе с тем снижаются производительность и так называемая ликвидная стоимость.

Наступает момент, когда старое оборудование более выгодно продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат. При этом оборудование можно заменить либо новым оборудованием того же вида, либо новым, более совершенным в техническом отношении, с учетом технического прогресса.

Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации. Известно, что при заданном плане выпуска продукции максимизация прибыли эквивалентна минимизации затрат. Практически удобнее пользоваться вторым критерием, вводя для учета снижения производительности условно приведенные затраты.

Условимся считать, что решения о замене оборудования принимаются периодически в начале каждого промежутка (года, месяца, недели и т. д.), на которые разбит плановый период. Предположим также, что оборудование может использоваться неограниченно долго, если тратить достаточные суммы на его ремонт.

Основной характеристикой оборудования является его возраст. От возраста оборудования зависят эксплуатационные расходы, затраты на производство, производительность и ликвидная стоимость. Эти показатели изменяются, если учитывать технический прогресс, не только при замене старого оборудования новым, с новыми технико-экономическими характеристиками, но и новым того же типа, еще не использованным. В последнем случае изменение вызвано моральным износом.

Метод ДП обеспечивает единый подход к решению всех видов задач о замене.

При составлении модели ДП мы рассматриваем процесс замены как n-шаговый, разбив весь плановый период на п промежутков. Так как в начале каждого из этих промежутков принимается решение либо о сохранении оборудования, либо о его замене, то управление на k-м шаге (k=l, ..., п) содержит всего лишь две альтернативные переменные. Обозначим через и^срешение, состоящее в сохранении старого оборудования, а через и³— решение, состоящее в замене старого оборудования новым. Функциональные уравнения, благодаря наличию двух альтернативных управлений на каждом шаге, содержат лишь две величины: одна выражает условную прибыль (условные затраты) при управлении u^с, другая — тот же показатель при управлении и^з. Условная оптимизация на каждом шаге состоит в вычислении двух величин и в выборе из них наибольшей (наименьшей). Это значительно упрощает расчеты на стадии условной оптимизации и позволяет решать вручную задачи о замене с большим числом шагов.

Рассмотрим две модели ДП задачи о замене оборудования. В одной из них в качестве показателя эффективности выберем прибыль, которую следует максимизировать, в другой — суммарные затраты на эксплуатацию, которые следует минимизировать.

Задача 1. Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение п лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны: р — начальная стоимость оборудования; f(t) —стоимость производимой продукции на оборудовании возраста t лет; r(t) —ежегодные затраты на эксплуатацию оборудования возраста tлет;

—ликвидная стоимость оборудования возраста tлет. .

Рассмотрим n-шаговый процесс, считая k-м шагом номер k-гoгода от начала эксплуатации (k=l, 2, ..., п). Выше указывалось, что управление на k-м шаге выбирается из двух возможных решений: u^с — сохранить и продолжать использование старого оборудования или и³— заменить оборудование новым.

Будем считать, что в начале планового периода возраст оборудования равен t₀. Состояние

-системы (оборудования) в начале k-roшага характеризуется одним параметром — возрастом оборудования. Для k-ro шага параметр состояния tможет принимать значения 0,1, 2, ..., k—1, т. е. t≤k-1

Если к началу k-гoшага система находилась в состоянии

, то под влиянием управления и^св конце k-гoшага она перейдет в состояние возраст оборудования увеличится на один год. Под влиянием управления и³, принятого на k-м шаге, система перейдет в состояние (замену произвели в начале k-гoгода; в конце k-го года возраст нового оборудования равен одному году).

Уравнение состояния (1.2) для данного процесса имеет вид

(6.1)

Определим прибыль на k-м шаге (показатель эффективности k-гoшага), соответствующую каждому из альтернативных управлений и^си и³. Выбирая на k-м шаге управление и^с, мы сможем произвести продукции стоимостью f(t) на старом оборудовании, что потребует затрат r(t), поэтому прибыль равна f(t)—r(t). Обозначим ее через

(6.2)

При управлении и³получим доход

от продажи старого оборудования (ликвидную стоимость) и f(0) от произведенной на новом оборудовании продукции, затратив р на приобретение нового оборудования и r(0) на содержание нового оборудования. В этом случае прибыль (обозначим ее через ) составляет

(6.3)

Построим обратную вычислительную схему решения данной задачи методом ДП.

Обозначим через

условную максимальную прибыль, полученную за n—k+lшагов использования оборудования с k-гoпо n-й шаг включительно, если к k-му шагу возраст оборудования составлял лет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации. Соответствующее условное оптимальное управление на k-м шаге обозначим через . Условный максимальный доход за последний n-й промежуток составляет

(6.4)

Сравнив эти две величины для всех возможных значений t<nполучим значения

и соответствующие значения . Предположим, что для всех значений известна максимальная прибыль, полученная за n—kшагов с (k+1)-гoпо n-й включительно. Поэтому основные рекуррентные соотношения можно записать в виде

(6.5)

В уравнении (6.5) величина

—условная максимальная прибыль, полученная за n—kшагов, если к началу (k+l)-гoшага система находилась в состоянии (возраст оборудования составлял один год).

•Процесс условной оптимизации на каждом шаге, начиная с n-го, сводится к сравнению двух величин в уравнениях (6.4) и (6.5) и выбору наибольшей из них. Этап условной оптимизации заканчивается, как обычно, получением последовательностей функций

На этапе безусловной оптимизации для

(возраст оборудования в начале процесса) получаем , а далее по цепочке: , из (6.1) находим ,, откуда , и т. д. Оптимальное управление представляет собой набор управлений u^с и и³.

Замечание. В задаче 1 не рассматривался вопрос о том, что происходит с оборудованием после п лет его эксплуатации. Можно предположить, что п неограниченно велико и, рассматривая процесс для достаточно большого значения п, получить закономерность в оптимальном управлении в виде периодически повторяющихся циклов замены и использования старого оборудования, (такой пример будет рассмотрен ниже). Можно также предположить, что после л лет использования оборудование продается и ликвидная стоимость присоединяется к общей прибыли. Во втором случае уравнения (6.4) принимают вид