Экономика недвижимости (стр. 25 из 54)
В этом случае сумма долга заемщика банку будет равна Dn=С0(1+iif)n(1+h)n.
Отсюда можно получить величину номинальной кредитной ставки процента i с учетом инфляции: Dn=С0(1+i)n=С0(1+iif)n(1+h)n → in= iif+h+hiif (2.13)
Заметим, что произведение hiif является величиной более высокого порядка малости в сравнении с величинами h и iif поэтому в аналитических исследованиях произведением hiif иногда (в «нулевом приближении») пренебрегают, полагая in≈ iif+h.
Обратимся теперь к проблеме учета влияния рисков на величину ставки процента, рассматривая, например, позицию банка, вынужденного учитывать возможность частичного (на δ долей единицы) невозврата «шарового» кредита С0 (с процентами), выданного заемщикам на n периодов под «безрисковую» годовую номинальную ставку процента irf (rf – risk free): вместо необходимой для жизнедеятельности банка величины С0(1+irf)n доступной - из-за риска невозврата кредитов - оказывается сумма С0(1+irf)n(1-δ).
Здесь безрисковой называется ставка, получение которой полностью гарантировано каким-либо механизмом обеспечения обязательств. В нашем случае безрисковая ставка irf равна сумме величин реальной ставки irf = ire и темпа h надежно прогнозируемой расчетной инфляции, в то время как возможность превышения темпа нерасчетной инфляции над темпом расчетной инфляции рассматривается как дополнительный вид риска.
При указанном выше размере невозврата средств кредитор обеспечивает возможность приобретения запланированного количества «потребительских корзин» Nn использованием механизма возмещения потерь путем введения компенсирующего множителя (1-δ) в знаменатель формулы для вычисления Nn:
,откуда следует, что с учетом риска невозврата части кредита планируемая сумма долга должна составить величину Dnc= С0(1+irf)n/(1-δ)≈С0(1+irf)n(1+δ)≈ С0(1+irf)n(1+η)n≈C0(1+irf+η+ηirf)n, (2.14) т.е. ставка процента с учетом риска невозврата кредита, характеризуемого ежегодным недополучением доли η ≈δ/n от суммы долгов заемщиков по кредитам общей продолжительностью n периодов, равна i≈irf+η+ηirf≈irf+η+o(η,irf)≈irf+η, (2.15) где o(η,irf) - величина более высокого порядка малости, чем irf и η.
Выражение (2.15), в котором величина η называется премией за риск невозврата части кредитов, легко трансформируется для случая проявления нескольких источников риска со своими количественными характеристиками и дополнительными слагаемыми - премиями за соответствующие виды риска μ, φ и другими - в выражение для ставки процента i: i=irf+η+μ+φ. (2.16)
Расчет платежей по обслуживанию долга
Получив представление о ставке процента, рассмотрим алгоритм расчета размеров платежей по обслуживанию долга как функцию величины номинальной ставки процента i, размера кредита Vm и продолжительности (числа периодов k) кредитного соглашения для различных форм кредитования.
В наиболее распространенном варианте самоамортизирующегося кредита с постоянной ставкой процента предусматриваются равновеликие платежи по обслуживанию долга, выплачиваемые в конце каждого периода с погашением основной суммы кредита и процентов. Если платежи по обслуживанию долга размером Vm вносятся один раз в год суммами Im в течение n лет, то расчет размера этих сумм можно выполнить, воспользовавшись следующей моделью.
Полагаем, что ссуда условно делится на n неравных частей, возвращаемых со своими процентами в составе платежей Im в соответствующем году. Так, первая часть этой ссуды V1 возвращается с процентами в конце первого года: Im=V1(1+i), откуда V1=Im/(1+i)=Imd1.
Вторая часть ссуды V2 возвращается с процентами в конце второго года: Im=V2(1+i)2, что дает V2=Im/(1+i)2=Imd2.
Наконец, n-я часть ссуды компенсируется с процентами в конце n-го года: Im=Vn(1+i)n и Vn=Im/(1+i)n=Imdn.
Поскольку по условию Vm=V1+V2+...+Vn, то из представленного выше следует:
; 
.Это же соотношение записывается с использованием ипотечной (кредитной) постоянной Rm называемой еще коэффициентом капитализации для заемного капитала: Im=VmRm; Rm=1/an.
Получив выражение для расчета годовых платежей по обслуживанию долга, мы ввели несколько функций финансовой математики (функций сложного процента), которые будем использовать в будущих расчетах:
Sn=(1+i)n – множитель наращения или будущая стоимость денежной единицы;
dn=1/(1+i)n – множитель дисконтирования (дисконтный множитель) или текущая стоимость будущей единицы;
an=[1-1/(1+i)n]/i – текущая стоимость единичного аннуитета;
1/an – взнос на амортизацию единицы.
Заметим, что ставка процента, являясь по существу нормой отдачи на заемный капитал, в составе множителя наращения выполняет функцию нормы наращения, в то время как в составе множителя дисконтирования она выполняет функцию нормы дисконтирования.
Для самоамортизирующегося кредита может оказаться полезным расчет остатка Vmk по кредиту, не выплаченного к концу некоего k-го периода (k<n). Необходимость такого расчета возникает, например, при продаже объекта до истечения срока кредитного соглашения: невыплаченный остаток по кредиту должен быть возвращен банку. Нетрудно показать, что доля невыплаченной части кредита определяется соотношением: Vmk / Vm=an-k / an, где an-k=[1-1/(1+i)n+k]/i. Тогда доля выплаченной части ссуды определится соотношением PRN=1- Vmk / Vm.
Несколько сложнее становится схема расчета годового платежа по обслуживанию долга при капитализации процентов по меняющейся с годами ставке процентов. В этом случае: Im=Vm/an*
.В варианте шарового кредита возврат основной суммы ссуды и выплата процентов осуществляются единовременным платежом Vmn в конце срока действия кредитного соглашения. В этом случае формально во все годы, кроме последнего года действия кредитного договора, текущие платежи не предусмотрены. Однако в практике управления объектом и оценки его стоимости полагается ежегодно резервировать средства для накопления необходимых средств к дате итогового платежа по кредиту. В расчете параметров кредита предусматривается резервирование средств путем накопления годовых взносов Imd по безрисковой ставке процента id (на депозите в надежном банке или путем вложения средств в государственные ценные бумаги) в течение n лет. При этом размер взноса Imd рассчитывается по очевидному соотношению:
Vmn=Vm(1+i)n=Imd[(1+id)n+(1+id)n-1+…+1)=Imd[(1+id)n-1]/i=ImdSn → Imd=Vmn / Sn=Vmn SFF=Vm Sn SFF
Здесь введены еще две функции сложных процентов:
Sn=anSn=[(1+i)n-1]/i – будущая стоимость единичного аннуитета;
SFF=1/Sn=i/[(1+i)n-1] – коэффициент (фактор) фонда возмещения.
Можно показать, что с введением величины коэффициента фонда возмещения несколько иначе (что полезно для будущего анализа) представляется ипотечная постоянная: Rm=1/an=i+1/Sn.
Кроме рассмотренных форм кредитования иногда используется также смешанная форма кредита, когда по годам заемщик выплачивает кредитору только проценты и, возможно, некоторую небольшую часть суммы ссуды Vm1, в то время как основная часть собственно суммы кредита Vm2 выплачивается одномоментно в конце срока действия кредитного соглашения. В таком случае расчет годовой суммы выплат по обслуживанию долга ведется по комбинированной схеме расчета параметров самоамортизирующегося кредита:
.