Статистический анализ числовых величин (непараметрическая статистика) (стр. 12 из 12)
имеет асимптотическое (при
) стандартное нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Следовательно, правило принятия решений на уровне значимости 5%: имеет обычный вид если 
то гипотезу однородности связанных выборок по критерию знаковых рангов Вилкоксона принимают, в противном случае отклоняют. Как обычно, при желании использовать другой уровень значимости применяют в качестве критического значения иной квантиль нормального распределения. Повторим еще раз, что использование предельных теорем допустимо при достаточно больших объемах выборки.
Альтернативная гипотеза общего вида записывается как
при некотором х0 . Таким образом, проверке подлежит гипотеза симметрии относительно 0, которую можно переписать в виде
H(x) + H(-x) -1 = 0 .
Для построенной по выборке Zj = хj - уj , j = 1,2,…,n, эмпирической функции распределения Hn(x) последнее соотношение выполнено лишь приближенно:
Как измерять отличие от 0? По тем же соображениям, что и в предыдущем пункте, целесообразно использовать статистику типа омега-квадрат. Соответствующий критерий был предложен в работе [17]. Он имеет вид
В работе [17] найдено предельное распределение этой статистики:
В табл.1 приведены критические значения статистики типа омега-квадрат для проверки симметрии распределения (и тем самым для проверки однородности связанных выборок), соответствующие наиболее распространенным значениям уровней значимости (расчеты проведены Г.В. Мартыновым).
Табл.1. Критические значения статистики
для проверки симметрии распределения Значение функции распределения  | Уровень значимости  | Критическое значение х статистики |
| 0,90 | 0,10 | 1,20 |
| 0,95 | 0,05 | 1,66 |
| 0,99 | 0,01 | 2,80 |
Как следует из табл.1, правило принятия решений при проверке однородности связанных выборок в наиболее общей постановке и при уровне значимости 5% формулируется так. Вычислить статистику
. Если <1,66, то принять гипотезу однородности. В противном случае - отвергнуть.Пример. Пусть величины Zj , j=1,2,…,20, таковы:
20, 18, (-2), 34, 25, (-17), 24, 42, 16, 26, 13, (-23), 35, 21, 19, 8, 27, 11, (-5), 7.
Соответствующий вариационный ряд
имеет вид:(-23)<(-17)<(-5)<(-2)<7<8<11<13<16<18<19<20<21<24<25<26<27<34<35<42.
Для расчета значения статистики
построим табл.2 из 7 столбцов и 20 строк, не считая заголовков столбцов (сказуемого таблицы). В первом столбце указаны номера (ранги) членов вариационного ряда, во втором - сами эти члены, в третьем - значения эмпирической функции распределения при значениях аргумента, совпадающих с членами вариационного ряда. В следующем столбце приведены члены вариационного ряда с обратным знаком, а затем указываются соответствующие значения эмпирической функции распределения. Например, поскольку минимальное наблюдаемое значение равно (-23), то Hn(x)=0 при x<-23, а потому для членов вариационного ряда с 14-го по 20-й в пятом столбце стоит 0. В качестве другого примера рассмотрим минимальный член вариационного ряда, т.е. (-23). Меняя знак, получаем 23. Это число стоит между 13-м и 14-м членами вариационного ряда, 21<23<24. На этом интервале эмпирическая функция распределения совпадает со своим значением в левом конце, поэтому следует записать в пятом столбце значение 0,65. Остальные ячейки пятого столбца заполняются аналогично. На основе третьего и пятого столбцов элементарно заполняется шестой столбец, а затем и седьмой. Остается найти сумму значенийб стоящих в седьмом столбце. Подобная таблица удобна как для ручного счета, так и при использовании электронных таблиц типа Excel.Табл.2. Расчет значения статистики
для проверки симметрии распределения | j | Z(j) | Hn(Z(j)) | -Z(j) | Hn(-Z(j)) | Hn(Z(j))+ Hn(-Z(j))-1 | (Hn(Z(j))+ Hn(-Z(j))-1)2 |
| 1 | -23 | 0,05 | 23 | 0,65 | -0,30 | 0,09 |
| 2 | -17 | 0,10 | 17 | 0,45 | -0,45 | 0,2025 |
| 3 | -5 | 0,15 | 5 | 0,20 | -0,65 | 0,4225 |
| 4 | -2 | 0,20 | 2 | 0,20 | -0,60 | 0,36 |
| 5 | 7 | 0,25 | -7 | 0,10 | -0,65 | 0,4225 |
| 6 | 8 | 0,30 | -8 | 0,10 | -0,60 | 0,36 |
| 7 | 11 | 0.35 | -11 | 0,10 | -0,55 | 0,3025 |
| 8 | 13 | 0,40 | -13 | 0,10 | -0,50 | 0,25 |
| 9 | 16 | 0,45 | -16 | 0,10 | -0,45 | 0,2025 |
| 10 | 18 | 0,50 | -18 | 0,05 | -0,45 | 0,2025 |
| 11 | 19 | 0,55 | -19 | 0,05 | -0,40 | 0,16 |
| 12 | 20 | 0,60 | -20 | 0,05 | -0,35 | 0,1225 |
| 13 | 21 | 0,65 | -21 | 0,05 | -0,30 | 0,09 |
| 14 | 24 | 0,70 | -24 | 0 | -0,30 | 0,09 |
| 15 | 25 | 0,75 | -25 | 0 | -0,25 | 0,0625 |
| 16 | 26 | 0,80 | -26 | 0 | -0,20 | 0,04 |
| 17 | 27 | 0,85 | -27 | 0 | -0,15 | 0,0225 |
| 18 | 34 | 0,90 | -34 | 0 | -0,10 | 0,01 |
| 19 | 35 | 0,95 | -35 | 0 | -0,05 | 0,0025 |
| 20 | 42 | 1,00 | -42 | 0 | 0 | 0 |
Результаты расчетов (суммирование значений по седьмому столбцу табл.2) показывают, что значение статистики
=3,055. В соответствии с табл.1 это означает, что на любом используемом в прикладных эконометрических исследованиях уровнях значимости отклоняется гипотеза симметрии распределения относительно 0 (а потому и гипотеза однородности в связанных выборках).В настоящей главе затронута лишь небольшая часть непараметрических методов анализа числовых эконометрических данных. Обратим вн6имание на непараметрические оценки плотности, которые используются для описания данных, проверки однородности, в задачах восстановления зависимостей и других областях эконометрики. Эконометрические оценки плотности в общем виде рассмотрены в главе 8.
Цитированная литература
1. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 248 с.
2. Новицкий П.В. Основы информационной теории измерительных устройств. -Л.: энергия, 1968. - 248 с.
3. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1976. - 352 с.
4. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. - М.: Наука, 1972. - 416 с.
5. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. - М.: Наука, 1986. - 416 с.
6. Егорова Л.А., Харитонов Ю.С., Соколовская Л.В.//Заводская лаборатория. - 1976. Т.42, №10. С. 1237.
7. Артемьев Б.Г., Голубов С.М. Справочное пособие для работников метрологических служб.- М.: Изд-во стандартов, 1982. - 280 с.
8. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. - 416 с.
9. Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983. - 518 с.
10. Боровков А.А. Математическая статистика. – М.: Наука, 1984. - 472 с.
11. Îðëîâ À.È. Óñòîé÷èâîñòü â ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëÿõ. - Ì.:Íàóêà,1979. – 296 ñ.
12. Крамер Г. Математические методы статистики / Пер. с англ. / 2-е изд. - М.: Мир, 1975. – 648 с.
13. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев / Пер. с англ. - М.: Наука, 1971. – 376 с.
14. Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 108 с.
15. Методика. Проверка однородности двух выборок параметров продукции при оценке ее технического уровня и качества. – М.: ВНИИ стандартизации, 1987. – 116 с.
16. Камень Ю.Э., Камень Я.Э., Орлов А.И. Реальные и номинальные уровни значимости в задачах проверки статистических гипотез / Заводская лаборатория. 1986. Т.52. № 12. С.55-57.
17. Орлов А.И. О проверке симметрии распределения. – Журнал «Теория вероятностей и ее применения». 1972. Т.17. No.2. С.372-377.