Общий вид передаточной функции замкнутой системы с ПИ – регулятором по управлению:
По результатам расчёта все миноры определителя Гурвица
,
,
и
вместе с коэффициентом
положительны, значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива.
Для исследования устойчивости замкнутой системы по критерию Михайлова строится годограф вектора характеристического уравнения знаменателя замкнутой системы при изменении частоты
от
до
. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от
до
, начав свое движение с положительной действительной полуоси и вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходил
квадрантов, нигде не обращаясь в нуль (где
- порядок характеристического уравнения).
Таким образом, для исследования системы на устойчивость по критерию Михайлова необходимо построить годограф знаменателя передаточной функции замкнутой системы и по его виду оценить ее устойчивость.
Необходимо заметить, что для адекватного отображения годографа в области малых и больших частот часто приходиться строить несколько вариантов этого годографа в различных диапазонах частот, чтобы просмотреть его поведение во всем диапазоне.
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с П – регулятором по возмущению:
Рисунок 18 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с П – регулятором в интервале частот [0;2]
Изменим диапазон частоты:
и покажем, что годограф разомкнутой системы с П – регулятором проходит все 5 квадрантов.
Рисунок 19 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с П – регулятором в интервале частот [2;9,5]
Из рисунков 18 и 19 видно, годограф проходит 5 квадрантов, начав свое движение с положительной действительной полуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль. Таким образом, замкнутая система с П – регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
Общий вид передаточной функции замкнутой системы с ПИ – регулятором по возмущению:
Рисунок 20 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с И – регулятором в интервале частот [0;2,5]
Изменим диапазон частоты:
и покажем, что годограф разомкнутой системы с И – регулятором проходит все 6 квадрантов.
Рисунок 21 – Годограф Михайлова разомкнутой системы с И – регулятором в интервале частот [2,5; 9,5]
Из рисунков 20 и 21 видно, годограф проходит 6 квадрантов, начав свое движение с положительной действительной полуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль. Таким образом, замкнутая система с И – регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Михайлова.
