Линейная регрессия (стр. 3 из 5)
Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:
Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
ŷ=100,91 · x0,39
ŷ =8,13 · x0,39.
График 4
· Показательная
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · bx
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + x lg b
Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b
Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx - линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.
Таблица 9
| №наблюдения | y | x | Y | Yx | x2 | ŷ | εi | εi2 | |
| 1 | 26 | 17 | 1,4150 | 24,0545 | 289 | 24,564 | 1,436 | 2,06 | 5,52 |
| 2 | 27 | 22 | 1,4314 | 31,4900 | 484 | 29,600 | -2,600 | 6,76 | 9,63 |
| 3 | 22 | 10 | 1,3424 | 13,4242 | 100 | 18,920 | 3,080 | 9,49 | 14,00 |
| 4 | 19 | 7 | 1,2788 | 8,9513 | 49 | 16,917 | 2,083 | 4,34 | 10,96 |
| 5 | 21 | 12 | 1,3222 | 15,8666 | 144 | 20,385 | 0,615 | 0,38 | 2,93 |
| 6 | 26 | 21 | 1,4150 | 29,7144 | 441 | 28,516 | -2,516 | 6,33 | 9,68 |
| 7 | 20 | 14 | 1,3010 | 18,2144 | 196 | 21,964 | -1,964 | 3,86 | 9,82 |
| 8 | 15 | 7 | 1,1761 | 8,2326 | 49 | 16,917 | -1,917 | 3,68 | 12,78 |
| 9 | 30 | 20 | 1,4771 | 29,5424 | 400 | 27,472 | 2,528 | 6,39 | 8,43 |
| 10 | 13 | 3 | 1,1139 | 3,3418 | 9 | 14,573 | -1,573 | 2,47 | 12,10 |
| Сумма | 219 | 133 | 13,2729 | 182,8324 | 2161 | 45,75 | 95,84 | ||
| Ср.знач. | 21,9 | 13,3 | 1,3273 | 18,2832 | 216,1 |
Значение параметров А и B линейной модели определим по формулам:
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
ŷ =101,115·(100,016)x;
ŷ =13,03·1,038x.
График 5
9. Для указанных моделей найти: R2 – коэффициент детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации А.
для всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).· Степенная модель (см. таблицу 8):
; 
;· Показательная модель (см.таблицу 9):
; 
;· Гиперболическая модель (см. таблицу 7):
.
Таблица 10
| Параметры Модели | Коэффициент детерминации R2 | Средняя относительная ошибка аппроксимации А |
| 1. Степенная | 0,857 | 7,5 |
| 2. Показательная | 0,827 | 9,6 |
| 3. Гиперболическая | 0,672 | 12,5 |
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R2 к 1, тем выше качество модели.
Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.
При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R2 и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать лучшей.
Задача 2
Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
Таблица 1
| № варианта | № уравнения | Задача 2а | Задача 2б | ||||||||||||
| переменные | переменные | ||||||||||||||
| y1 | y2 | y3 | x1 | x2 | x3 | x4 | y1 | y2 | y3 | x1 | x2 | x3 | x4 | ||
| 8 | 1 | -1 | b12 | b13 | 0 | a12 | a13 | 0 | -1 | 0 | b13 | a11 | 0 | a13 | a14 |
| 2 | 0 | -1 | b23 | a21 | a22 | 0 | a24 | b21 | -1 | b23 | 0 | a22 | 0 | a24 | |
| 3 | 0 | b32 | -1 | a31 | a32 | a33 | 0 | b31 | 0 | -1 | a31 | 0 | a33 | a34 | |
Решение
2а)
, тогда система уравнений будет иметь вид: 