Статистичне вивчення та прогнозування динаміки цін на промислову продукцію (стр. 12 из 17)
Тут t– номер гармоніки Фур’є; 0 a, ka, kb– параметри, які визначаються методом найменших квадратів; k– кількість гармонік,
K=2p/ T = , де T – період коливання.
Використання методів дисперсійного аналізу свідчить, що найкращу апроксимацію можна досягти за умови включення в модель перших чотирьох гармонік.
Розрахункові значення часового ряду визначалися як сума значень систематичної складової (тренду) та випадкових складових (сезонності та випадковості)..
Точність одержаних прогнозів оцінювалась за величиною відносної похибки екстраполяції та її середнього значення
На основі одержаних моделей можна також передбачити, врахувати та зменшити наслідки прояву сезонності, зокрема такі як значні збитки, пов’язані з нерівномірністю використання обладнання, устаткування, робочої сили, сировини; з нерівномірним використанням інфраструктури, а також викликаною необхідністю створення різного роду резервів тощо. Тобто є можливість позбутися фактора невизначеності під час проведення кон’юнктурних досліджень у ході оцінювання та прогнозування майбутніх тенденцій і закономірностей, що має надзвичайно важливе практичне значення.
В теоретичному аспекті як результат даного дослідження можна взяти за основу запропоновану методику моделювання процесів на основі аналізу сезонних коливань.
2.3.Метод Хольта-Вінтерса як основа статистичного прогнозування індексів цін
Адаптивне прогнозування дає змогу автоматично змінювати константу згладжування в процесі обчислення. Інструментом прогнозування в адаптивних методах є математична модель з одним чинником «час».
Адаптивні моделі прогнозування — це моделі дисконтування даних, які здатні швидко пристосовувати свою структуру й параметри до зміни умов. Найважливіша особливість їх полягає у тому, що це саморегулювальні моделі, й у разі появи нових даних прогнози оновлюються із мінімальною затримкою без повторення спочатку всього обсягу обчислень.
Нехай ми перебуваємо в якомусь поточному стані, для якого відомий поточний рівень ряду
й очікуване значення 
. Залежно від закладеної у модель гіпотези формування сподіваних значень розрізняють моделі адаптивних сподівань, неповного коригування, раціональних сподівань. Методи розрахунку доволі складні, тож розглянемо лише підхід до цієї проблеми. Схему такого процесу представлено на рис. 2.2. 
Рис. 2.2. Схема побудови адаптивних моделей
Після надходження фактичного значення обчислюється помилка, розбіжність між фактичним і прогнозованим рівнем (довготермінова функція моделі):
.У моделі передбачається, що зміна фактичного рівня є деякою часткою (
) від очікуваної зміни 
. Параметр 
називається коригувальним коефіцієнтом або параметром адаптації. За критерій оптимальності під час вибору параметра адаптації можна взяти мінімум середнього квадрата помилок прогнозування. Чим ближчий до одиниці, тим більше сподівання економічних суб’єктів відповідають реальній динаміці часового ряду, і навпаки, чим ближче до нуля — тим менше володіємо ситуацією, тому треба вносити корективи.Помилка прогнозу через зворотний зв’язок надходить до моделі та враховується залежно від прийнятої системи переходу від одного стану до наступного. В результаті з’являються «компенсаційні» зміни, які дають змогу коригувати параметри моделі з метою більшого узгодження поведінки моделі з динамікою ряду. Наприклад, бажане значення
якогось економічного показника визначається рівнянням: 
(2.21)де залишки
є «білим шумом» і не корелюють із t. Фактичне значення на момент tytне співпадає із бажаним значенням, але буде пристосовуватися до нього за таким правилом: 
(2.22)де
— білий шум. Із (2.2.4) випливає, що на кожному кроці t рівень ряду yt,буде коригуватися в напрямі очікуваного значення 
на величину, пропорційну різниці між бажаним і поточним рівнями економічного показника. Співвідношення (2.2.4) можна переписати у вигляді експоненціальної середньої першого порядку: 
(2.3)з чого видно, що поточне значення величини yt є зваженим середнім бажаного рівня на даний момент часу та фактичного значення в попередньому періоді. Підставляючи значення (2.21) в (2.23), маємо модель коригування прогнозу:
(2.24)Це співвідношення називають короткотерміновою функцією моделі.
Таким чином, адаптація здійснюється ітеративно з одержанням кожної нової фактичної точки ряду. Модель постійно «всмоктує» інформацію й розвивається з урахуванням нових тенденцій, наявних на теперішній момент. Завдяки зазначеним властивостям адаптивні методи найуспішніше використовують для оперативного прогнозування.
У практиці статистичного прогнозування базовими адаптивними моделями вважаються моделі Брауна і Хольта, які належать до схеми ковзної середньої, та модель авторегресії. Решта адаптивних методів (метод адаптивної фільтрації (МАФ), метод гармонійних ваг тощо [27]) розрізняються за способом оцінювання параметрів моделі та визначенням параметрів адаптації базових моделей.
Адаптивна модель за методом Хольта — це динамічний процес у вигляді лінійно-адитивного тренду:
(2.25)де
— прогнозована оцінка рівня ряду 
, яка розраховується в момент часу 
на 
кроків уперед, 
— оцінка поточного ( 
-го) рівня часового ряду, 
— оцінка поточного приросту.Припускається, що випадкові залишки е мають нормальний закон розподілу із нульовим математичним сподіванням та дисперсією
.У цьому методі послаблені умови однопараметричності моделі Брауна за рахунок уведення двох параметрів згладжування —
та 
, ( 
).Коефіцієнти лінійної моделі за методом Хольта розраховують за такими співвідношеннями:
, (2.26 ) 
, (2.27 )де еt — похибка прогнозу рівня
, обчислена в момент часу (t-1) на один крок уперед, 
.Коефіцієнт
має значення, близьке до останнього рівня, і становить закономірну складову цього рівня; коефіцієнт 
— визначає приріст, що склався наприкінці періоду спостережень, але характеризує також швидкість зростання показника попередніх етапах. Початкові значення параметрів моделі знаходять за методом найменших квадратів на підставі кількох перших спостережень. Оптимальні значення параметрів згладжування та визначають методом багатовимірної числової оптимізації, вони є сталими для всього періоду спостереження.Після оцінювання параметрів
та прогноз на τ моментів часу, тобто , розраховують як суму оцінки середнього поточного значення ( 
) та очікуваного показника зростання ( 
), помноженого на період випередження τ, тобто