Статистика (стр. 13 из 25)
Решение типовых задач
Задача № 1.
При разработке материалов городского населения методом случайного бесповторного отбора было установлено, что в городе А 15% жителей старше 60 лет. Из общей численности населения города (500 тыс. чел.) было отобрано 50 тыс. чел. С вероятностью 0,683 определите предел, в котором находится доля жителей города А в возрасте старше 60 лет.
Определите среднюю ошибку выборочной доли.
Ход решения:
Рассчитаем среднюю ошибку выборочной доли:
.Мы использовали формулу
.С вероятностью 0,683 предельная ошибка выборочной доли составит:
Δ = 1 х 0,048 = 0,048 (или 4,8%)
Определим верхнюю границу генеральной доли:
0,15 + 0,048 = 0,198 (или 19,8%)
Определим нижнюю границу генеральной доли:
0,15 – 0,048 = 0,102 (или 10,2%)
Вывод: С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля жителей в возрасте старше 60 лет в городе А колеблется от 10,2 до 19,7%.
10, 2% < р < 19,8%
Задача № 2.
Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей надо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 2 мм с вероятностью 0,954 при среднем квадратическом отклонении 8 мм.
Ход решения:
Таблица 1
Значения коэффициента доверия при выбранной вероятности
 |  |
| 1 | 0,683 |
| 2 | 0,954 |
| 3 | 0,997 |
| 4 | 0,999 |
Рассчитаем необходимую численность выборки:
Задачи для самостоятельного выполнения
Задача №3.
При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделий в генеральной совокупности.
Задача № 4.
При обследовании 100 образцов изделий, отобранных из партии в случайном повторном порядке, оказалось 20 нестандартных. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.
Задача № 5.
Среди выборочно обследованных 1000 семей региона по уровню среднедушевого дохода (выборка 2 %-ная, механическая) малообеспеченными оказалось 300 семей. С вероятностью 0,997 определите долю малообеспеченных семей в регионе.
Тесты для закрепления материала
Тест 1
При механической выборке установлено, что в 50 партиях сыра среднее содержание влаги составило 74 %, при среднем квадратическом отклонении 1,5 %. Какие из нижеприведённых показателей нужно вычислить, чтобы установить границы влаги в сыре в генеральной совокупности:
а) дисперсию;
б) размах вариации;
в) граничную ошибку выборки;
г) коэффициент вариации.
Тест 2
Средняя ошибка выборки вычисляется с целью:
а) изучения вариации признака;
б) определения среднего значения признака, который исследуется;
в) определения коэффициента роста;
г) установление возможных границ отклонений средней генеральной от средней выборочной.
Тест 3
Чтобы уменьшить среднюю ошибку выборки в два раза, объём случайной повторной выборки нужно:
а) увеличить в два раза;
б) увеличить в четыре раза;
в) уменьшить в два раза;
г) уменьшить в четыре раза.
Литература
1. Теорія статистики: Навчальний посібник / Вашків П.Г., Пастер П.Ш., Сторожук В.П., Ткач Є.Ш. – К.: Либідь, 2001. - 320 с.
2. Статистика: Підручник / С.С. Герасименко, А.В. Головач та ін. 2-е вид., перероб. і доп. – К. : КНЕУ, 2000. – 467 с.
3. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник /Под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. – 5-е изд, доп. и перераб. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 440 с.
4. Захожай В.Б., Попов І.І., Коваленко О.В. Практикум з основ статистики: Навч. посіб. – К.: МАУП, 2001. - 176 с.
Тема 7. Статистическая проверка гипотез
План лекционных занятий
13. Статистическая проверка гипотез.
13.1. Общие понятия о гипотезе.
13.2. Этапы работы по статистической проверке гипотез.
14. Дисперсионный анализ.
14.1. Критерии согласия.
14.2. Элементы дисперсионного анализа.
Методические указания
Гипотеза – это научное предположение об особенностях явлений, которые их определяют, требующее проверки и доказательства.
Статистическая гипотеза – это определенное предположение, касающееся параметров или формы распределения генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на результаты выборочного наблюдения. Суть проверки гипотез заключается в том, чтобы проверить, согласуются или нет результаты выборки с гипотезой, случайными или неслучайными являются расхождения между гипотезой и данными выборки.
При проверке гипотез имеется возможность совершить ошибки двоякого рода:
а) ошибка первого рода – проверяемая гипотеза (её обычно называют нулевой гипотезой) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от неё;
б) ошибка второго рода – проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к её принятию.
Чаще всего гипотеза, которую необходимо проверить, формулируется как отсутствие расхождений между неизвестным параметром генеральной совокупности
и заданной величиной 
(нулевая гипотеза), обозначается 
. Содержание гипотезы записывается после двоеточия, например 
.Статистическим критерием называется правило, согласно которому нулевая гипотеза принимается или отклоняется. Для каждого вида проверяемых гипотез разработаны специальные критерии, среди которых чаще всего используют
- критерий нормального распределения и распределения Стьюдента, 
-критерий Фишера, 
распределения Пирсона («хи-квадрат») и другие.Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:
1) Сформулировать проверяемую гипотезу
. Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая гипотеза (альтернативная);2) выбрать уровень значимости
, контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода;3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область;
4) принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значений критерия.
Уровень значимости (
) – это такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.Статистические критерии, используемые для проверки гипотез, бывают двух видов:
1) Параметрическими называю критерии, которые обосновываются на допущении: распределение случайной величины в совокупности подчиняется какому-либо известному закону (например, нормальному, биноминальному, Пуассона). К таким критериям относятся критерии
.2) Непараметрическими (порядковыми) называют критерии, использование которых не связано со знанием закона распределения случайной величины. Их можно использовать тогда, когда распределение значительно отличается от нормального. К таким критериям относятся критерий знаков Вилкоксона, Уайта, Манна-Уитни.
Параметрические критерии значительно эффективнее непараметрических.
Мощность критерия – это вероятность отклонения испытуемой нулевой гипотезы, когда правильною является альтернативная гипотеза. То есть мощностью критерия является вероятность того, что не будет допущена ошибка. Конечно, желательно иметь более мощный критерий, так как это обеспечит минимальную вероятность допущения ошибки второго рода.
Этапы работы по проверке статистической гипотезы:
1) оценка входной информации и описание статистической модели выборочной совокупности;
2) формирование нулевой и альтернативной гипотезы;
3) установление уровня значимости, с помощью которого контролируют ошибку первого рода;
4) выбор мощного критерия для проверки нулевой гипотезы (это даёт возможность контролировать появление ошибки второго рода);