Основы экономики (стр. 4 из 6)
К + 90L ≤ 21000, (1)
К ≥ 0, L ≥ 0 (2)
и доставляющие максимальное значение целевой функции
→ max. (3)Так как Y — нелинейная функция, то эта модель представляет собой задачу нелинейного программирования. Ограничение (1) называется бюджетным ограничением.
Графическое решение задачи производителя
Ее решение можно найти графическим методом. Для этого построим область допустимых решений, задаваемую условиями (1) и (2). Она представляет собой заштрихованный треугольник ОАВ. Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением 30K + 90L = 21000
Для определения оптимального решения проведем несколько линий уровня (изоквант) целевой функции, имеющих общие точки с областью допустимых решений. Как было показано в п. 2, чем выше находится изокванта, тем большему уровню целевой функции она соответствует (Y2 > Y1). Поэтому изокванта, соответствующая максимально возможному объему выпуска, должна касаться граничной прямой бюджетного ограничения (1), а точка ее касания D будет оптимальным решением задачи.
Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что градиент целевой функции grad Y =
, вычисленный в точке касания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор нормали ОС = (pK, pL) этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо равенство 
.(4)Поскольку
отсюда имеем, что 
Следовательно, K = 7L. Подставляя полученное выражение K через L в уравнение граничной прямой АВ, получаем: 90L + 30*7L = 21000.
Отсюда имеем, что оптимальная величина трудовых ресурсов равна L* = 70.
Оптимальный объем оборудования равен K* = 7*L = 7*70 = 490, а соответствующий объем выпуска Y* = 4*4900.7∙700.3 ≈ 1093,3.
Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой в точке рыночного равновесия равна отношению цен этих ресурсов, т.е.
.Предельная эффективность финансовых ресурсов
= 
= (4*0.7∙350-0.3∙500.7)/30 ≈ 0.816,что означает следующее: при увеличении затрат на 1 ден. ед. объем выпускаемой продукции возрастет на 0.816 ед.
Итак, получены следующие результаты.
1. Фирма должна взять в аренду K* = 490 тыс. ст.-час. оборудования и нанять по контракту L* = 70 тыс. чел.-час. рабочей силы. В этом случае при имеющемся бюджетном ограничении будет выпущено максимальное количество продукции Y* = 1093,3 ед.
2. Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой MRTSKL= 0,333.
3. Предельная эффективность финансовых ресурсов равна 0.816.
4. Задача 4
Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме выполнения приведены в следующей таблице:
| Имя работы | А | В | С | D | E | F | G | H | Q | V |
| Опирается на работу | E | G,Q | C,F,H | V | E | G,Q | V | |||
| Нормальный срок | 16 | 24 | 32 | 8 | 16 | 8 | 19 | 16 | 14 | 8 |
| Ускоренный срок | 10 | 15 | 20 | 5 | 10 | 5 | 10 | 10 | 5 | 5 |
| Норм.стоим.(млн.руб.) | 33 | 84 | 78 | 31 | 35 | 19 | 71 | 74 | 38,5 | 40 |
| Плата за ускор.(млн.руб.) | 19,8 | 50,4 | 46,8 | 18,6 | 21 | 11,4 | 63,9 | 44,4 | 69,3 | 24 |
Требуется:
1.С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.
2.Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.
3.Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дн. С какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона.
Решение
Упорядоченный сетевой график строительства торговой павильона изображен на рис., где рядом с буквой, обозначающей работу, в скобках проставлено число, равное нормальному сроку ее выполнения.
Обозначим
Ткр – критическое время, т.е. наименьшее время выполнения всего комплекса работ.
Трi – раннее время наступления i-й события, т.е. момент времени, раньше которого событие i не может наступить.
Рассчитаем Трi для всех событий сетевого графика, т.е. для i= 1,2,…,7. Время наступления 1-го события сетевого графика будем считать равным нулю, т.е. Тр1 = 0. Далее последовательно находим Тр2,…, Тр6
дн
дн;
дн;
дн;
дн;
Стоимость S = 33+84+78+31+35+19+71+74+38,5+40=503,8
Критический срок Ткр = 46 дней.
Критический пути (V,Q,В), (V,Q,H,D).
Сокращение сроков строительства торгового павильона
| Имя работы | А | В | С | D | E | F | G | H | Q | V |
| Нормальный срок | 16 | 24 | 32 | 8 | 16 | 8 | 19 | 16 | 14 | 8 |
| Ускоренный срок | 10 | 15 | 20 | 5 | 10 | 5 | 10 | 10 | 5 | 5 |
| Норм. стоим.(млн.руб.) | 33 | 84 | 78 | 31 | 35 | 19 | 71 | 74 | 38,5 | 40 |
| Плата за ускор.(млн.руб.) | 19,8 | 50,4 | 46,8 | 18,6 | 21 | 11,4 | 63,9 | 44,4 | 69,3 | 24 |
| Максим. сокращение времени выполнения (дн.) | 6 | 9 | 12 | 3 | 6 | 3 | 9 | 6 | 9 | 3 |
| Удельная цена | 3,3 | 5,6 | 3,9 | 6,2 | 3,5 | 3,8 | 7,1 | 7,4 | 7,7 | 8 |
Просматривая все полные некритические пути, убеждаемся, что при сокращении срока строительства на 2 дня, т.е. до 44 дней, критическими могут стать пути Р4 и Р5 . Эффективно сократить работу Q на 2 дня. При этом дополнительные затраты составят 2 (дня) ´ 7,7 (млн.руб./день) = 15,4(млн.руб.), критическое время станет равным Ткр = 46 –2 =44 (дней). Новая стоимость работ будет равной S = 503,5 +15,4=518,9(млн.руб.)
5. Задача 5
Имеются данные по 15 субъектам Российской Федерации за январь-март 2001 года о денежных доходах и потребительских расходах на душу населения в среднем за месяц, которые приведены в таблице:
| Номер субъекта РФ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Денежные доходы, тыс.руб. | 1,57 | 1,3 | 1,75 | 1,66 | 1,75 | 1,79 | 1,33 | 1,58 |
| Потребительские расходы, тыс.руб | 1,29 | 1,15 | 1,3 | 1,36 | 1,67 | 1,59 | 1,08 | 1,28 |
| Номер субъекта РФ | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
| Денежные доходы, тыс.руб. | 2,24 | 2,47 | 2,29 | 2,07 | 2,43 | 3,51 | 2,21 | |
| Потребительские расходы, тыс.руб | 1,65 | 1,76 | 1,7 | 1,88 | 1,8 | 2,74 | 1,76 |
На основе имеющихся данных требуется: