Основы экономики (стр. 3 из 6)
Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 0,1´ 1470t = 147t руб.
Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x1* + 3x2* = 2´600 +3´90 =1470 (чел.-час.).
Если t=20, то оптимальное решение будет достигаться на отрезке ВС, концы которого имеют координаты В(600;90) и C(690;0).
Если "закрепить" линию уровня в т.С и начать увеличивать значение параметра t, то линия уровня будет приближаться к оси Ох1.
Найдем значение t, при котором линия уровня параллельна оси Ох1. Из равенства угловых коэффициентов получаем:
; t = 220 > 60.Если tÎ[20; 30] точкой максимума станет точка С(690;0).
Найдем максимальный размер прибыли для tÎ[20;30]:
Р* = (638 – 2,2t) ´690 + (660 – 3,3 t)´0 = 440220 – 1518t (руб.),
Размер необходимого кредита:
V* = 2tx1* + 3x2* = 2´t´690 +3´t´0=1380t руб.,
Сумма уплаченных процентов: 0,1V* = 138tруб.
Потребность в трудовых ресурсах: S* = 2x1* + 3x2* = 2´690 +3´0 = 1380(чел.-час.). Итоги решения задачи представим в таблице:
| Почасовая оплата труда t (руб.) | Оптималь-ный план выпуска Х*(t)= (x1*,x2*) | Величина спроса на трудовые ресурсы S*(t) (чел.-час.) | Размер необходимого кредита V*(t), (руб.) | Величина максимальной прибыли Р*(t) (руб.) |
| t = 10 | (600;90) | 1470 | 14700 | 426030 |
| tÎ(10;20) | (600;90) | 1470 | 1470t | 442200- 1617t |
| t = 20 | Отрезок ВС | [1380; 1470] | [27600;29400] | 409860 |
| tÎ(20;30] | (690;0) | 1380 | 1380t | 440220 – 1518t |
3. Задача 3
Максимизация объема выпускаемой продукции в условиях ограниченных финансовых ресурсов. Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:
,где Y — объем выпуска продукции (ед.).
Требуется:
1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K = 441; б) L =63.
2. Найти уравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y1=656, Y2 =984, Y3=1312.
3. Известны объем выпуска продукции Y=984 и наличные трудовые ресурсы L=63 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.
4. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 90 (ден.ед./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 30 (ден.ед./тыс. ст.-час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 21000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что ПФ задана на всем множестве K ≥ 0, L ≥ 0; найти графическим методом ее решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.
Решаем задачу для следующих значений параметров:
| А | α | β | К | L | Y1 | Y2 | Y3 | Lбаз | Yбаз | pK | pL | С |
| 4 | 0,7 | 0,3 | 441 | 63 | 656 | 984 | 1312 | 63 | 984 | 30 | 90 | 21000 |
1) Производственная функция (ПФ) — функция, описывающая зависимость максимального объема производимого продукта от затрат ресурсов (факторов), используемых в производственном процессе. В данной задаче в качестве ресурсов выступают рабочая сила (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:
где Y — объем выпуска продукции (ед.).
Построим графики производственной функции при фиксированном значении одной из переменных.
а) По условию K =441. Тогда ПФ — степенная функция следующего вида: Y =4*
График функции представлен на рис.
б) По условию L = 63. Тогда ПФ — степенная функция следующего вида: Y =4*
График функции представлен на рис.
2) Изокванта — совокупность всех комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих одинаковый объем выпускаемой продукции. Изокванты дают графическое представление двухфакторной производственной функции Y(K, L) в виде ее линий уровня.
По условию Y1 =656;Y2 =984; Y3 =1312.
Выпишем соответствующие этим значениям уравнения изоквант:
=656; 
=984; =1312.Для построения на декартовой плоскости OKL изоквант из их уравнений в явном виде выразим переменную L как функцию от переменной K:
или 
.Итак, уравнения трех изоквант запишем в следующем виде:
, отсюда
; 
, отсюда
; 
, отсюда
.Графики изоквант, выпуклые к началу координат кривые, изображены на рис. Различные комбинации (K1, L1) и (K2, L2) используемых ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте, дают один и тот же объем выпуска Y. Изокванта Y3, расположенная выше изоквант Y2 и Y1, соответствует большему объему выпуска продукции (Y3 > Y2 > Y1).
3) Известны объем выпуска продукции Yбаз= 984 (ед.) и наличные трудовые ресурсы Lбаз =63 (тыс. чел.-час.) в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.
При заданном увеличении объем выпуска продукции составит Y = 1.1×Yбаз= 1.1×984 = 1082,4 (ед.).
Существует множество комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 1082,4 ед. Потребность в оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию от объема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты
, имеем: 
.Таким образом, если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, не изменится и останется на уровне Lбаз =63 (тыс.чел.-час.), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит
(тыс. ст.-час.).В базовом периоде потребность в оборудовании составляла
(тыс. ст.-час.).Потребность в ресурсах в плановом периоде
Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит L = 1.05×Lбаз= 1.05×63 = 66,15 (тыс. чел.-час.),то потребность в оборудовании в плановом периоде составит
(тыс. ст.-час.).Итак, при объеме трудовых ресурсов
потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину 
, определяемую соотношением 
.4) Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в производстве ресурсы по ценам pK = 30 (ден. ед. / тыс. ст.-час.) и pL= 90 (ден. ед. / тыс. чел.-час.). Величина ее затрат C на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит
С = pKК + pLL = 30К + 90L.
Задача фирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 21000 ден. ед. Математическая модель этой задачи может быть записана так: найти объемы ресурсов К и L, удовлетворяющие ограничениям