Основные понятия статистики (стр. 9 из 12)
При n=12 значения t, соответственно будут
; 
.Значения
и 
удобно расположить в таблице (для двух гармоник):
В следующей таблице приведены исходные данные (графы 1 и 2) и расчет показателей, необходимых для получения уравнений первой и второй гармоники (k=1 и k=2).
Искомое уравнение первой гармоники имеет вид
.В шестой графе получены теоретические значения объема продажи зимней одежды по месяцам. Очевидно, что они значительно отличаются от эмпирических. Поэтому определим уравнение второй гармоники, т.е.
.
В девятой графе получены теоретические значения
, которые более близки к эмпирическим уровням, чем 
. Об этом свидетельствует и сумма квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических (итого двух последних столбцов). После выбора оптимального уравнения, естественно, что его нужно проверить на адекватность с помощью критерия Фишера (параграф 4.6). В нашем примере FР1=14,45>FТ=4,26, FР2=7,60>FТ=4,12 значит обе модели адекватны и их можно использовать для прогнозирования. Графическое отображение на следующей диаграмме свидетельствует о более точном представлении во второй гармонике.Аналогично рассчитываются параметры уравнения с применением третьей и четвертой гармоник и проверяют близость теоретических значений к эмпирическим.
4.8 Прогнозирование при помощи тренда
Нахождение по имеющимся данным за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри этого периода называется интерполяцией. Нахождение значений признака за пределами анализируемого периода называется экстраполяцией.
Применение экстраполяции для прогнозирования должно основываться на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохраняется и вне этого ряда. Это означает, что основные факторы, сформировавшие выявленную закономерность изменений уровней ряда во времени, сохранится в будущем.
При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле
, (1.61)где
– точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; 
– коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости 
и числе степеней свободы 
=n-1; 
– ошибка аппроксимации.Уровень значимости
связан с вероятностью 
следующей формулой 
. (1.62) Ошибка аппроксимации (среднее квадратическое отклонение тренда) определяется по следующей формуле
, (1.63)где
и – соответственно фактические и теоретические (расчетные) значения уровней ряда динамики;n – число уровней ряда;
k – число параметров (членов) в уравнении тренда.
5. Индексы
5.1 Индивидуальные индексы
Индекс — относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. В статистическом анализе индексы используются не только для сопоставления уровней явлений, но и для установления значимости причин, вызывающих их изменение.
Если анализируются простые явления или не имеет значения структура сложных явлений, то применяются индивидуальные индексы. Например, такие простые явления как количество проданного товара q и его цена р своим произведением образуют такое сложное явление, как выручка от продаж Q=qp. Сравнение их значений по отдельности для конкретного товара в отчетном периоде времени относительно какого-либо базисного периода и дает индивидуальные индексы:
—количества товара iq = q1 /q0 ;
—его цены ip = p1/p0 ;
—выручки от продаж iQ = Q1 /Q0 .
Очевидно, что индивидуальный индекс сложного явления формируется из таких индексов простых его составляющих по типологической формуле его определения. То есть
iQ=iqip (1.64)
Подставив сюда индивидуальный индекс выручки, записываем:
Q1/Q0= iqip
откуда получаем, что
Q1= iqipQ0 (1.65)
Формула (1.65) представляет собой двухфакторную мультипликативную модель сложного явления, позволяющую находить его изменение под влиянием каждого фактора в отдельности.
Мультипликативной она называется потому, что содержит только действие умножения. Если в формуле только сложение, или вычитание, или оба этих действия, то она называется аддитивной моделью. Если в формуле только деление, то она называется кратной моделью. Если в формуле сложение и вычитание с умножением и делением в любом сочетании, то она называется смешанной моделью.
Общее изменение выручки равняется
=Q1-Q0, а ее изменение от каждого фактора определяется следующим образом. От изменения количества товара при постоянной цене (ip = 1) оно равно
q= iqQ0 - Q0 = (iq –1) Q0, (1.66)
а при изменении еще и цены оно будет равным
p= Q1 - Q0 - 
q = iqipQ0 - Q0 - (iq –1) Q0= iq(ip –1) Q0, (1.67)
Так, если выручка от продаж возросла с Q0 = 8 млн. руб. в предыдущем периоде до Q1 =12,18 млн. руб. в последующем при увеличении количества проданного товара на 5% (iq =1,05) и повышении цены на 45% (ip =1,45), то можно по формуле (1.54) записать, что
Q1 = 1,05*1,45*8 = 12,18 млн. руб.
При этом весь прирост выручки в сумме
= 12,18-8=4,18 млн. руб. вызван увеличением обоих факторов. За счет изменения количества проданного товара он по формуле (1.66) составил q =(1,05-1)8=0,4 млн. руб., а за счет изменения цены по формуле (1.67) равняется p =1,05(1,45-1)8 =3,78 млн. руб. Для контроля отмечаем, что сумма факторных изменений выручки равна общему: 0,4+3,78=4,18 млн. руб.