Основные понятия статистики (стр. 5 из 12)
= 4; 
’=9; ’’=20.
Д=2,67; Д’=2,67; Д’’=66,67.
В этой матрице значения средних арифметических очевидны, а первоначальное значение дисперсии было найдено в предыдущем примере. Расчет других ее значений приведен ниже по логической формуле (1.24)
Д’= ((7-9)2 + (9-9)2 + (11-9)2)/3 = 2,67
Д’’= ((10-20)2 + (20-20)2 + (30-20)2)/3 = 66,67
Отмечаем, что отношение 66,67/2,67 дает ровно 25 или 52. То есть при увеличении каждой статистической величины в 5 раз дисперсия увеличилась в 25 раз. Аналогичные численные доказательства можно выполнить и в случаях противоположного изменения статистических величин.
3. Выборочное наблюдение
3.1 Понятие и отбор единиц
Выборочный метод используется, когда применение сплошного наблюдения физически невозможно из-за огромного массива данных или экономически нецелесообразно. Физическая невозможность имеет место, например, при изучении пассажиропотоков, рыночных цен, семейных бюджетов. Экономическая нецелесообразность имеет место при оценке качества товаров, связанной с их уничтожением. Например, дегустация, испытание кирпичей на прочность и т.п. Выборочное наблюдение используется также для проверки результатов сплошного.
Статистические величины, отобранные для наблюдения, составляют выборочную совокупность или выборку, а весь их массив - генеральную совокупность. При этом число величин в выборке обозначают п, во всей генеральной совокупности — как обычно N. Отношение n/N называется относительный размер или частость выборки, измеряемая в процентах.
Качество результатов выборочного наблюдения зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько она представительна в генеральной совокупности. Для обеспечения репрезентативности выборки надо соблюдать принцип случайности отбора статистических величин, который реализуется разными способами.
1. Собственно случайный отбор или «метод лото», когда статистическим величинам присваиваются порядковые номера, заносимые на определенные предметы (бумажки, фишки, кубики, бочонки, шары), которые затем перемешиваются в некоторой емкости (шапка, мешок, ящик, барабан) и выбираются наугад. Этот способ можно осуществить также с помощью математических таблиц случайных чисел.
2. Механический отбор, согласно которому отбирается каждая (N/п)-я величина генеральной совокупности. Так, если она содержит 100000 величин, а требуется выбрать 1000, то в выборку попадет каждая 100000 / 1000 = 100-я величина. Причем, если они не ранжированы, то первая выбирается наугад из первой сотни, а номера других будут на сотню больше. Например, если первой оказалась статистическая величина № 19, то следующей должна быть № 119, затем № 219, затем № 319 и т. д. Если статистические величины ранжированы, то первой выбирается № 50, затем № 150, затем № 250 и так далее.
3. Отбор величин из неоднородного массива данных ведется стратифицированным (расслоенным) способом, когда генеральная совокупность предварительно разбивается на однородные группы, к которым применяется случайный или механический отбор.
4. Особый способ составления выборки представляет собой серийный или гнездовой отбор, при котором случайно или механически выбирают не отдельные величины, а их серии или гнезда, внутри которых ведут сплошное наблюдение.
Качество выборочных наблюдений зависит и от типа выборки: повторная или бесповторная. В первом случае попавшие в выборку статистические величины или их серии после использования возвращаются в генеральную совокупность, имея шанс попасть в новую выборку. При .этом у всех величин генеральной совокупности одинаковая вероятность включения в выборочную совокупность.
Бесповторный отбор означает, что попавшие в выборку статистические величины или их серии после использования не возвращаются в генеральную совокупность, а потому для остальных величин последней повышается вероятность попадания в следующую выборку.
Бесповторный отбор дает более точные результаты, поэтому применяется чаще. Но есть ситуации, когда его применить нельзя (изучение пассажиропотоков, потребительского спроса и т.п.) и тогда ведется повторный отбор.
3.2 Средняя ошибка выборки
Выборочную совокупность можно сформировать по количественному признаку статистических величин, а также по альтернативному или атрибутивному. В первом случае обобщающей характеристикой выборки служит выборочная средняя величина, обозначаемая
, а во втором — выборочная доля величин, обозначаемая w. В генеральной совокупности соответственно: генеральная средняя 
и генеральная доля р .Разности
— 
и W — р называются ошибкой выборки, которая делится на ошибку регистрации и ошибку репрезентативности. Первая часть ошибки выборки возникает из-за неправильных или неточных сведений по причинам непонимания существа вопроса, невнимательности регистратора при заполнении анкет, формуляров и т.п. Она достаточно легко обнаруживается и устраняется. Вторая часть ошибки возникает из-за постоянного или спонтанного несоблюдения принципа случайности отбора. Ее трудно обнаружить и устранить, она гораздо больше первой и потому ей уделяется основное внимание.Величина ошибки выборки зависит от структуры последней. Например, если при определении среднего балла успеваемости студентов факультета в одну выборку включить больше отличников, а в другую - больше неудачников, то выборочные средние баллы и ошибки выборки будут разными.
Поэтому в статистике определяется средняя ошибка повторной и бесповторной выборки в виде ее удельного среднего квадратического отклонения по формулам
= 
- повторная; (1.35)
= 
- бесповторная; (1.36)
где Дв — выборочная дисперсия, определяемая при количественном признаке статистических величин по обычным формулам из гл.2.
При альтернативном или атрибутивном признаке выборочная дисперсия определяется по формуле
Дв = w(1-w). (1.37)
Из формул (1.35) и (1.36) видно, что средняя ошибка меньше у бесповторной выборки, что и обусловливает ее более широкое применение.
3.3 Предельная ошибка выборки
Учитывая, что на основе выборочного обследования нельзя точно оценить изучаемый параметр (например, среднее значение) генеральной совокупности, необходимо найти пределы, в которых он находится. В конкретной выборке разность
может быть больше, меньше или равна . Каждое из отклонений 
от 
имеет определенную вероятность. При выборочном обследовании реальное значение в генеральной совокупности неизвестно. Зная среднюю ошибку выборки, с определенной вероятностью можно оценить отклонение выборочной средней от генеральной и установить пределы, в которых находится изучаемый параметр (в данном случае среднее значение) в генеральной совокупности. Отклонение выборочной характеристики от генеральной называется предельной ошибкой выборки 
. Она определяется в долях средней ошибки с заданной вероятностью, т.е. 
= t , (1.38)
где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки.
Вероятность появления определенной ошибки выборки находят с помощью теорем теории вероятностей. Согласно теореме П. Л. Чебышёва, при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности вероятность того, что разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала, близка к единице:
при 
.А. М. Ляпунов доказал, что независимо от характера распределения генеральной совокупности при увеличении объема выборки распределение вероятностей появления того или иного значения выборочной средней приближается к нормальному распределению. Это так называемая центральная предельная теорема. Следовательно, вероятность отклонения выборочной средней от генеральной средней, т.е. вероятность появления заданной предельной ошибки, также подчиняется указанному закону и может быть найдена как функция от t с помощью интеграла вероятностей Лапласа: