Организация нормального процесса обслуживания покупателей связана с правильным определением следующих показателей: количество предприятий данного торгового профиля, численность продавцов в них, наличие соответствующих основных фондов, частота завоза товаров, численность обслуживаемого населения, плотность обращаемости и потребности в соответствующих основных фондов, частоты завозов товаров, численности обслуживаемого населения, плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах. Организации торгового обслуживания населения нужно выбрать такой оптимальный вариант, при котором время обслуживания будет минимальным, качество – высоким, не будет излишних хозяйственных затрат. Математический аппарат теории массового обслуживания облегчает решение этой задачи.
Различают две формы обслуживания: с неявными потерями и с явными потерями.
Теория массового обслуживания представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей производительности технических устройств или систем массового обслуживания, предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживания заявок.
При наличии одного канала обслуживания система массового обслуживания называется одноканальной, если их несколько – многоканальной. Если источники заявок включены в систему, она называется замкнутой, иначе – разомкнутой. Если несколько систем соединены последовательно, токам образом, что заявки, удовлетворенные в одной системе, переходят к следующей, возникает многофазная система массового обслуживания.
В одноканальной пуассоновской системе с пуассоновским входящим потоком и бесконечным источником требований учитываются: средняя частота поступления требований – А; средняя пропускная способность канала обслуживания - S.
Модель включает характеристики и уравнения:
1. коэффициент использования системы: A/S;
2. среднее число клиентов в системе: A/(S-A);
3. среднее число машин, ожидавших в очереди: A2/[S*(S-A)];
4. среднее время нахождения клиента в системе:1/(S-A);
5. среднее время состояния в очереди: А/[S*(S-A)]; удельный вес простоев: 1-A/S.
Система обслуживания с ограничением по длине очереди чаще встречается в практике, чем простейшие системы с неограниченным размером очереди или временем ожидания. Пропускная способность систем с ограничением длины очереди определяется:
q=1-(λn/n!)*(λ/n)n/{[∑nk=0(λk/k!)]+[(λn/n!) * ∑mc=1(λk/k!)c]}, где
q-вероятность обслуживания – доля обслуживаемых заявок;
λ-приведенная плотность потока заявок – коэффициент использования системы, λ=A/S;
n – число потоков обслуживания;
m – максимальная длина очереди;
k и с – немые индексы.
Доля времени простоев определяется так:
Р=1/{[∑nk=0(λk/k!)]+[(λn/n!) * ∑mc=1(λk/k!)c]}.
Исполнение заявки в системе продолжается некоторое случайное время, после чего освободившийся канал вновь готов к приему заявки. Если в системе допускается формирование очереди заявок, поступивших в моменты, когда все каналы заняты, они становятся в очередь и ожидают освобождения занятых каналов.
В зависимости от допустимости и характера формирования очереди различают системы обслуживания с отказами, с неограниченной очередью и смешанного типа.
Система с отказом имеет место, если формирование очереди не разрешено. Заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и не будет удовлетворена.
Система массового обслуживания с неограниченной очередью представляет собой структуру, где разрешается очередь неограниченной длины. В такой системе поступившие заявки будут обслужены, хотя время ожидания может оказаться довольно продолжительным.
В системе массового обслуживания смешанного типа возможны различные ограничения, например, на максимальную длину очереди, время пребывания заявка в очереди и т.д. в системе с ограниченной очередью заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обязательно обслуживается. В системе массового обслуживания с ограниченным временем пребывания в очереди заявка становится в очередь и ожидает некоторое случайное время. Если она за это время не попадает на канал обслуживания, то покидает очередь. Такой вариант обслуживания применяется для моделирования входного контроля заголовок и имитации брака на операциях по обработке деталей.
Работа в перечисленных системах обслуживания осложняется тем, что заявки поступают не регулярно, а через случайные промежутки. Это приводит к тому, что в отдельные интервалы времени система действует с перегрузкой, а в другие – недогружена или даже полностью простаивает.
Основная задача теории массового обслуживания – выявить зависимость показателей эффективности системы от характера входящего потока, дисциплины и ограничения очереди, количества, производительности и условий функционирования каналов с целью последующей ее оптимизации. В качестве критерия оптимальности применяют максимум прибыли от эксплуатации системы; минимум суммарных потерь, связанных с простоем каналов; минимум заявок в очереди и уходов не обслуженных заявок; заданную пропускную способность и т.п. в качестве варьируемых переменных обычно фигурируют количество каналов, их производительность, организация работы в одноканальном или многоканальном режиме, условия взаимопомощи между каналами, дисциплина очереди, приоритетность обслуживания и др.
Основными элементами системы массового обслуживания являются источники заявок, их входящий поток, каналы обслуживания, выходящий поток. Многие понятия теории массового обслуживания можно проиллюстрировать на одном важном примере: взлет и посадка самолетов в крупном аэропорту - операция, представляющая интерес для многих людей, пользующихся этим видом транспорта.
Допустим, что аэропорт имеет несколько взлетно-посадочных (параллельных каналов). Эти полосы ведут к большему или меньшему числу дорожек, оканчивающихся на аэровокзале (последовательные каналы). После того как самолет, прибывший в соответствии с определенным распределением входящего потока, приземляется, он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих обслуживания (продвижение по дорожке к месту выгрузки). Таким образом, выходящий поток одной очереди становится входящим потоком для другой. Очередь существует как на земле (взлет самолетов), так и в воздухе (посадка самолетов). Обе эти очереди имеют свое распределение входящего потока. Приземляющиеся самолеты могут прибывать группами, при этом члены каждой группы должны кружить над аэропортом и приземлятся по порядку. (Если полоса очень широкая, то нетрудно представить посадку самолетов группами.) Длительность операций обслуживания (время приземления или взлета) около минуты. В любом случае имеется некоторое распределение времени обслуживания. Если для различных типов самолетов отведены различные взлетно-посадочные полосы, которые могут быть длиннее, например, для реактивных самолетов, то распределение времени обслуживания может меняться от одной полосы к другой.
При выборе самолетов для посадки важно определить соответствующий показатель эффективности. Например, если желательно минимизировать общее время ожидания пассажиров, то вначале нужно производить посадку самолетов с большим количеством людей.
Здесь же часто производится обслуживание с приоритетом, когда разрешается посадка снижающемуся самолету раньше, чем взлет ожидающемуся. Эта система с приоритетом распространяется также на случай аварийной обстановки, когда вследствие крайней необходимости разрешается посадить первым самолет, прибывший позже. Нередко приоритет на посадку дается реактивным самолетам из-за ограниченного запаса топлива.
Иногда порядок обслуживания таков, что прибывающий самолет присоединяется к очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки, а затем выбор самолета на посадку производится случайным образом (одна из форм обслуживания с приоритетом). Так, например, если самолет находится ближе других к точке, в которой он может выйти из зоны ожидания, то ему будет дана команда на посадку. В промежутке времени между получением приоритета на посадку и командой "посадку разрешаю" самолет выходит из эшелона и направляется к аэродрому. Это время известно как захода на посадку. Время приземления затрачивается на операцию посадки и продолжается до того момента, когда самолет сворачивает с взлетно-посадочной полосы.
Самолет, ожидающий посадки, может, находится в положении, близком к критическому (в это время другие самолеты будут действительно в критическом положении), он может принять решение присоединится к более короткой очереди в ближайшем аэропорту и приземлится там. Прибывающий самолет может не выстраиваться в эшелон, а уходить в другой аэропорт (отказ становится в очередь). В этом случае говорят, что аэропорт "потерял" этот самолет. Случается, что самолет отправляется в соседний аэропорт после того, как, присоединившись к очереди, он прождал больше, чем предполагалось (по кидание очереди до начала обслуживания). Можно рассматривать приземляющийся самолет участвующим в цикле, если он присоединяется к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается к очереди самолетов, ожидающих взлета, и снова включается во входной поток системы. Если приземляющийся самолет имеет информацию о размерах очереди эшелонированных самолетов, ожидающих посадки в соседнем аэропорту, то он может присоединится к этой очереди. Если у него есть информация еще об одном аэропорте, то он может отправится и туда (редкий случай). Это движение туда и обратно при наличии нескольких очередей называется переходом из одной очереди в другую (возможность выбора очереди).