Задание 1.
На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество единиц корма, расходуемых на одно животное, запасы кормов и цена 1 шкурки указаны в таблице.
| Вид корма | Кол-во ед. на 1 животное | Общее кол-во корма | |
| лисица | песец | ||
| I | 2 | 3 | 180 |
| II | 4 | 1 | 240 |
| III | 6 | 7 | 426 |
| Цена | 16 | 12 | |
Определить, сколько лисиц и песцов необходимо выращивать, чтобы получить максимальную цену от продажи их шкурок.
Обозначим лисиц через x1, песцов через - x2.
Определим прибыль от выращивания животных. Прибыль от выращивания лисицы составляет по условию 16 ден. ед. План выращивания лисиц - x1 ед. Прибыль от выращивания песцов составляет по условию 12 ден. ед. План выращивания песцов - x2 ед. Суммарная прибыль от выращивания всех животных составит (16x1+12x2) ден. ед. Тогда целевая функция имеет вид: F=16x1+12x2, - суммарная прибыль должна быть наибольшей.
Составим систему ограничений.
1. Ограничение на использование сырья.
Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 2 ед. корма 1, необходимо 2х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 3 ед. корма 1, необходимо 3х2 корма для песцов. Количество корма 1 для животных не должно превышать 180 единиц. Ограничение на использование корма 1: 2x1+3x2£180
Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 4 ед. корма 2, необходимо 4х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 1 ед. корма 2, необходимо 1х2 корма для песцов. Количество корма 2 для животных не должно превышать 240 единиц. Ограничение на использование корма 2: 4x1+1x2£240
Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 6 ед. корма 3, необходимо 6х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 7 ед. корма 3, необходимо 7х2 корма для песцов. Количество корма 3 для животных не должно превышать 426 единиц. Ограничение на использование корма 3: 6x1+7x2£426
Получили математическую модель задачи:
| F=16x1+12x2®max |
| 2x1+3x2£180 4x1+1x2£240 6x1+7x2£426 |
| x1³0, x2³0 |
Решив задачу одним из способов, рассмотренных в приложении, получим значения переменных: x1=57; x2=12; Fmax=1056.
Решение задачи линейного программирования включает в себя не только формализацию и математическое решение, но и экономический анализ полученных результатов.
Экономический вывод:
Для получения максимальной прибыли в размере 1056 ден. ед. план развода животных должен быть таким: лисиц - 57 единиц, песец - 12 единиц. При этом, затраты ресурсов составят:
"Корм 1" - 150 единицы при запасе 180 ед. (остаток 30 единиц);
"Корм 2" - 240 кг единицы при запасе 240 ед.;
"Корм 3" - 426 единиц при запасе 426 ед. .
Избыточным является ресурс "Корм 1", недостаточным - "Корм 2" и "Корм3".
| Вид корма | Кол-во ед. на 1 животное | Общее кол-во корма | ||
| лисица | песец | |||
| I | 2 | 3 | 180 | |
| II | 4 | 1 | 240 | |
| III | 6 | 7 | 426 | |
| Цена | 16 | 12 | ||
| Оптимальное кол-во | 57 | 12 | ||
| Реальные затраты | 114 | 36 | 150 | I |
| 228 | 12 | 240 | II | |
| 342 | 84 | 426 | III | |
| Целевая функция | 1056 | max | ||
| Вид корма | Кол-во ед. на 1 животное | Общее кол-во корма | ||
| лисица | песец | |||
| I | 2 | 3 | 180 | |
| II | 4 | 1 | 240 | |
| III | 6 | 7 | 426 | |
| Цена | 16 | 12 | ||
| Оптимальное кол-во | 57,0000003181818 | 11,9999997272727 | ||
| Реальные затраты | =СУММПРОИЗВ (B12; B7) | =СУММПРОИЗВ (C12; C7) | 180 | I |
| =СУММПРОИЗВ (B12; B8) | =СУММПРОИЗВ (C12; C8) | =СУММ (B14: C14) | II | |
| =СУММПРОИЗВ (B12; B9) | =СУММПРОИЗВ (C12; C9) | =СУММ (B15: C15) | III | |
| Целевая функция | =СУММПРОИЗВ (B12: C12; B10: C10) | max | ||
Задание 2.
Для кормления подопытного животного ему необходимо давать ежедневно не менее 15 ед. химического вещества А1 (витамина или некоторой соли) и 15 ед. химического вещества А2. Не имея возможности давать вещество А1 или А2 в чистом виде, можно приобретать вещество В1 по 1 д. е. или В2 по 3 д. е. за 1 кг, причем каждый кг В1 содержит 1 ед. А1 и 3 ед. А2, а кг В2 - 6 ед. А1 и 2 ед. А2.
Запасы веществ на складе: В1 - 7 кг, В2 - 9 кг.
Определить оптимальную закупку веществ В1 и В2 для ежедневного рациона.
Формализация задачи:
Пусть x1 - количество В1, а x2 - количество В2, которое необходимо использовать в рационе. Тогда целевая функция - стоимость продуктов равна:
F = 1x1+3x2 - min.
Составим систему ограничений.
1. Ограничение на содержание в рационе кормовых единиц - не менее 15 вещества А1 и не менее 15 вещества А2. В одной единице В1 содержится по 1 кормовой единице вещества А1 и 3 кормовые единицы вещества А2. В одной единице В2 содержится по 6 кормовых единиц вещества А1 и 2 кормовые единицы вещества А2.
2. Ограничение на содержание в рационе вещества А1 - не менее 15 единиц. Значит, 1x1+6x2 ≥ 15.
3. Аналогично рассуждая, составим ограничения на содержание вещества А2 - не менее 15 единиц. Значит, 3x1+2x2 ≥ 15.
4. Ограничение запасы вещества В1 и В2 x1≤7; x2≤9;
Так как x1 и x2 - количество продукта, то x1 и x2 неотрицательны.
Получили математическую модель задачи о смесях:
F = 1x1+3x2 - min.
1x1+6x2 ≥ 15.
3x1+2x2 ≥ 15.
x1≤7
x2≤9
x1 ³0
x2 ³0
Решение: x1=4; x2=2; Fmin=10.
Экономический вывод:
В суточном рационе должно содержаться 4 единицы вещества В1 и 2 единицы вещества В2. Стоимость такого рациона составит 10 ден. ед.
Питательность рациона составит:
Вещество А1 - 16 единиц, А2 - 16 единиц.
| Хим вещество | Вещество заменитель | общее необходимое кол-во /cутки. | |
| B1 | B2 | ||
| A1 | 1 | 6 | 15 |
| A2 | 3 | 2 | 15 |
| цена | 1 | 3 | |
| запасы | 7 | 9 | |
| Оптимальная закупка | B1 | B2 | |
| 4 | 2 | ||
| Реальные замена | 4 | 12 | 16 |
| 12 | 4 | 16 | |
| Сумма | 4 | 6 | |
| Целевая функция | 10 | ||
| Хим вещество | Вещество заменитель | общее нелбходимое кол-во / cутки. | |
| B1 | B2 | ||
| A1 | 1 | 6 | 15 |
| A2 | 3 | 2 | 15 |
| цена | 1 | 3 | |
| запасы | 7 | 9 | |
| Оптимальная закупка | B1 | B2 | |
| 4 | 2 | ||
| Реальные замена | =B9*B4 | =C9*C4 | =СУММ (B10: C10) |
| =B9*B5 | =C9*C5 | =СУММ (B11: C11) | |
| Сумма | =B9*B6 | =C9*C6 | |
| Целевая функция | =СУММПРОИЗВ (B9: C9; B6: C6) | ||
Задание 3.
На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 180, 60 и 80 единиц.
Этот груз необходимо перевезти в 4 магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 60, 40 и 80 единиц груза.
Тарифы перевозок единицы груза из каждого склада во все магазины задаются матрицей
2 3 4 3
С = 5 3 1 2
2 1 4 2
Составить план перевозок, стоимость которых является минимальной.
| Пункты Отправления | Запасы | Пункты назначения | |||||||
| B1 | B2 | B3 | B4 | ||||||
| A1 | 180 | x11 | 2 | X12 | 3 | x13 | 4 | x14 | 3 |
| A2 | 60 | X21 | 5 | x22 | 3 | X23 | 1 | x24 | 2 |
| A3 | 80 | X31 | 2 | X32 | 1 | x33 | 4 | x34 | 2 |
| Потребности | 120 | 60 | 40 | 80 | |||||
Пусть число пунктов отправления и число пунктов назначения равно 4 (n=4, m=4). Запасы, потребности и стоимость перевозок указаны в таблице:
Пусть xij - количество груза, перевезенного из пункта Аi в пункт Вj. Проверим соответствие запасов и потребностей: