Принятие оптимальных решений в условиях неопределенности (стр. 6 из 6)

Решение в смешанных стратегиях состоит в реализации чистых стратегий с различными вероятностями, задаваемыми распределением:

для проектируемого изделия в виде вектора-столбца

G = {g_i}, где i = 1,2 ...m;

;

для противодействия в виде вектора-строки

F = {f_j}, где j = 1,2 ...n;

,

где

g_i - вероятность выбора стратегии u_i;

f_j - вероятность выбора стратегии v_j.

Платежную функцию запишем в следующем виде:

(1.22)

где индексом "т" обозначена процедура транспонирования.

Платежная функция W(G,F) всегда имеет седловую точку, т.е. всегда существует решение матричной игры. Это утверждение соответствует основной теореме теории матричных игр: каждая матричная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение в чистых или смешанных стратегиях.

Последовательность решения игры следующая:

1. Анализируется платежная матрица на предмет исключения заведомо невыгодных и дублирующих стратегий.

1. Проверяется наличие седловой точки по условию (1.21).
2. Если решение в чистых стратегиях отсутствует, то ищется решение в смешанных стратегиях с помощью методов линейного программирования или методом Монте-Карло.

Пример 1.4. Обоснование стратегии эксплуатации

Предположим, что техническая система (агрегат) состоит из 5 блоков, отказ одного из которых ведет к отказу всей системы. Для предупреждения простоя системы можно провести перед началом ее работы проверку и замену неисправного блока. Если проверен не тот блок, то система простаивает, что приводит к убытку R_i (в таблице), который существенно превышает расходы на профилактику и замену (т.е. R_ij = 0). Требуется выбрать оптимальную стратегию из условия минимума убытка.

Пусть матрица расходов в зависимости от стратегий имеет вид:

Отказ блока (стратегии природы)
Проверка	1	2	3	4	5	max строки
и	1	8	2	9	5	6	9
замена	2	6	5	17	18	7	18
(стра-	3	7	3	14	10	8	14
тегии	4	4	6	16	9	19	19
эксплуа-	5	12	4	15	8	10	15
тации)	min столбца	6	2	9	5	6

Ответ: Имеется седловая точка - необходимо во всех случаях проверять первый блок.

Пример 1.5. Зимняя эксплуатация лесовозной дороги

Предположим, что при заготовке леса зимой стоит выбор делать или не делать предварительную расчистку дороги. При этом известны предполагаемые высоты снежного покрова и матрица доходов при применении той или иной стратегии. В данном случае можно реализовать себя как игрока A, а природу, как игроке B:

B
20 мм	40 мм	60 мм	100 мм
A	не делать	2	2	3	-1
делать	4	3	2	6

Решение: Имеем игру 2x4. Эта игра не имеет седловой точки. Ожидаемые выигрыши игрока A, соответствующие чистым стратегиям B представлены в таблице

Чистые стратегии B	Ожидаемые выигрыши A
1 2 3 4	-2x1 + 4 -x1 +3 x1 + 2 -7x1 + 6

Далее оптимальное решение - максимин находится графоаналитическим методом. Значение игры в данном случае равно 5/2.

Литература:

1. Андреев В.Н., Герасимов Ю.Ю. Принятие оптимальных решений: Теория и применение в лесном деле. Йоэнсуу: Из-во ун-та Йоэнсуу, 1999. 200 с.
2. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 120 с.
3. Вентцель Е.С. Элементы динамического программирования. М.: Наука, 1964. 176 с.
4. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1988.
5. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Сов. радио, 1979. 392 с.
6. Davis L.S., Johnson K.N. Forest management. New York: McGraw-Hill Book Company, 1987. 790 p.
7. Моисеев Н.Н., Математические методы системного анализа М. Наука 1981 487 с.
8. http://www.petrsu.ru/Faculties/Forest/courses/decision/decis_a.htm