Наиболее распространенным видом депозитного сертификата является сертификат с разовой выплатой процентов. Возможны следующие варианты совершения операции по срокам:
1-покупается по номиналу, продается за д2 дней до погашения,
2-покупается после выпуска и погашается в конце срока,
3-покупается и продается в пределах объявленного срока.
1) Р1( 1+ (д1- д2 )*iэп/К) = Р2,
Здесь: Р1-номинал, Р2-цена продажи, д1, д2-сроки до погашения.
Если в качестве исходных параметров берутся процентные ставки i1 и i2(объявленная ставка сертификата и ставка рынка в момент продажи),то:
iэп = (((1+ д1* i1/К)/ (1+ д2* i2/К))-1)* К/(д1- д2 )
Если расчет основан на уровнях процентных ставок, то:
iэ=((К+ д1* i1) /( К+ д2* i2))365/(д1- д2 )-1.
Þв данном случае, инвестор получит доход только, если:
i2< д1* i1 / д2.
2) Р2(1+ д2* iэп/К) = Р1(1+ д1* i/К), где Р1-номинал, Р2-цена приобретения,i – объявленная процентная ставка. (см. рис. 4 в конце)
Из приведенного равенства получим значение iэп при заданной величине Р2:
iэп = (Р1 (1+ д1* i1/К)/ Р2-1)*К/ д2
Если в качестве измерителя эффективности принята ставка сложных процентов, то :
iэ=(Р1 (1+ д1* i/К)/ Р2)365/д2-1
3) В данном варианте покупка производится спустя некоторое время после выпуска сертификата, а его продажа – до момента погашения.
На результат здесь влияют как срок владения инструментом, так и колебания процентных ставок.
Пример[6] №6:Сертификат был куплен за 140 дней до его выкупа за 1300 тыс. рублей. Инструмент был продан за 1400 тыс. рублей через 80 дней. Какова доходность операции, измеренная в виде простой и сложной ставок?
К = 365,
iэп=(1400-1300)/1300*(365/80)=0,351, т. е. 35,1%
Эквивалентная сложная ставка равна:
iэ=(1+80*0,351/365)365/80 –1=0,402, т. е. 40,2%
Величину i можно определить и непосредственно по формуле:
iэ=(1400/1300)365/80-1=0,402.
6
Пример№7:Сертификат с номиналом 230 тыс. рублей с объявленной доходностью 11%годовых ( в виде простых процентов) сроком 750 дней
куплен за 250 тыс. рублей за 260 дней до его оплаты. Какова доходность инвестиций в виде iэ?
Если временная база К=360 дней, то по формуле получим:
iэ=(230/250(1+(750*0,11/360)))365/260-1=0,1884 т. е. 18,84%.
4. Доходность потребительского кредита. [7]
Одной из распространенных форм кредитования являются потребительские кредиты – это краткосрочные ссуды, проценты на которые начисляются один раз на весь капитали за полный срок а выплаты производятся равными долями(постоянная р-срочная рента).
Реальная доходность такого вида ссуды в виде годовой ставки сложных процентов на инвестированные в операцию средства должна определяться с учетом фактического остатка задолженности после каждого платежа по кредиту. Таким образом, оценка искомойставки сводится к расчету коэффициента приведения такой ренты по данным, характеризующим условия потребительского кредита. Затем, на основе полученного коэффициента приведения рассчитывается искомая ставка.
Должник каждый раз в счет погашения выплачивает сумму
Y=D(1+ni)/рn.
Годовая сумма платежей равна:
Yр= D(1+ni)/n
Приравняем современную величину платежей (дисконтируя по неизвестной ставке iэ) сумме долга:
D= Yрa(р)n;iэ
Þa(р)n;iэ=n/(1+ni), где i – ставка простого процнта, принятого при расчете задолженности по потребительскому кредиту.
Рассчитанная ставка годовых сложных процентов заметно больше ставки, примененной при кредитовании.
Доходность потребительского кредита в виде годовой ставки сложных процентов:
| Годовая ставка за кредит | |||
| Число лет кредита | 4 | 5 | 8 |
| 3 | 7,8 | 9,7 | 15,6 |
| 4 | 7,6 | 9,5 | 15,4 |
| 5 | 7,5 | 9,2 | 15,1 |
Пример№8:Потребительский кредит выдан на 4 года на сумму 15 тысяч рублей по ставке 11% годовых. Общая сумма задолженности составит
15 000(1+4*0,11)=21 600
Погасительные платежи образуют постоянную ренту, коэффициент приведения которой:
7
а(12)4;iэ=4/1,44=2,7778
Найдем по формуле интерполяции приближенное значение ставки сложных процентов:
i = iн + (а-ан)/(ав-ан)*(iв-iн)
ан=2,588734568; ав=2,854978363
Þ0,15 +(2,7778-2,588734568)/( 2,854978363-2,588734568)*(0,2-0,15)=0,1855, т. е. 18,55%.
5 Долгосрочные ссуды. [8]
5. 1Ссуды с периодической выплатой процентов.
Пусть ссуда D погашается через n-лет, проценты по простой процентной ставке i выплачиваются регулярно в конце года
Проценты в таком случае равны Di. Должнику с учетом комиссионных выдается ссуда в размере D (1-g). Балансовое уравнение, полученное дисконтированием всех платежей по неизвестной ставке iэ, имеет вид
D(1-g) – (DiSvj +Dvn)=0 , Snj=1
Здесь v=(1+iэ)-1, Svj= an;iэ
Это уравнение можно представить в виде функции от iэ следующим образом:
f(iэ)= vn+ian;iэ-(1-g)=0
Если проценты выплачиваются р-раз в году, то
f(iэ)= vn+(i/р)a(р)n;iэ-(1-g)=0
Пример№9:На три года выдана ссуда в 1млн. рублей под 10%годовых, проценты выплачиваются ежегодно. При выдаче ссуды сделана скидка в пользу владельца денег в размере 5%. В результате должник получил950000. Для расчета искомой ставки iэ сразу можно написать функцию:
f(iэ)=(1+iэ)-3-0,1* a3;iэ-0,95=0
Решение, например методом Ньютона-Рафсона или простым подбором, дает iэ = 1,12088. Таким образом, доходность операции для кредитора и соответственно цена кредита для должника в виде годовой ставки сложных процентов равны 12,088%.
Проверка:долг в размере950000 вырастет за первый год до 950*1,12088=1064,84, после первой уплаты задолженность составит 964,68; на конец второго года имеем 964,849*1,12088-100=981,47 и , наконец, в последнем году сумма, подлежащая уплате, равна 981,47*1,12088=110тыс. рублей.
5. 2 Ссуды с периодическими расходами по долгу.
Допустим, что по ссуде периодически выплачиваются проценты и погашается основной долг, причем сумма расходов постоянна. Тогда балансовое уравнение для случая, когда платежи производятся в конце года, можно представить в виде:
D(1-g)-Ran;iэ =0, где R-срочная уплата.
Т. к. R=D/ an;i, то f(iэ)=an;iэ -an;i(1-g)=0
Если платежи осуществляются р-раз в году, то: f(iэ)=a(р)n;iэ -a(р)n;i(1-g)=0
,где a(р)n;iэ ,a(р)n;i-коэффициенты приведения годовой р-срочной ренты, члены которой равны расходам должника по ссуде.
Пример№10: Пусть в примере 9 задолженность погашается равными платежами. Все остальные условия не изменяются, тогда:
a3;iэ=a3;10(1-0,05)-2,48685*0,95=2,36251.
Расчет iэ по заданному значению можно легко осуществить с помощью линейной интерполяции. Т. к. iэ>10%, то примем iв=13%, а iн=12%.
Из таблицы коэффициентов приведения a3;i2=2,38134, a3;iэ=2,36115
Интерполяционное значение ставки:
iэ=12+(2,38134-2,36251)/(2,38134-2,36115)*(13-12)=12,933%
5. 3 Нерегулярный поток платежей.
Задолженность может быть погашена путем выплаты нерегулярного потока платежей:R1,… Rn.
Эффективность кредита при таком способе погашения определим на основе следующего уравнения, балансирующего вложение и отдачи:
f(iэ)=D(1-g)-SRjvtj=0, где tj- интервал от начала сделки до момента выплаты j-го погасительного платежа. Из условия сбалансированности сделки находим, применяя договорную ставку i, величину последнего взноса:
Rn=DqT-SRjqTj, где q=1+iэ;
Т=S Тj, Тj- срок выплаты j-го платежа до конца сделки.
6 Доходность облигаций[9].
Облигации являются наиболее распространенным видом ценных бумаг с фиксированным доходом. Эмитентами облигаций могут быть государство, крупные компании и корпорации, банки и другие финансовые учреждения. Основными параметрами облигаций являются:номинальная цена(N), выкупная цена или правило ее определения, если она отличается от номинала, дата погашения, норма доходности( купонная процентная ставка), даты выплат процентов и погашения.
Т. к. номиналы разных облигаций различаются, то возникает необходимость в сопоставимом измерителе рыночных цен. Курс облигации и выполняет эту функцию, т. е. курсом называют цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала: К=(Р/N)*100, где К- курс облигации, Р-рыночная цена,N –номинал облигации.
При анализе доходности облигаций различают следующие ее виды:
1-купонная доходность – определяется при выпуске облигаций(g),
2-текущая доходность – отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации(it),
3-полная доходность – измеряет реальную эффективность инвестиций в облигацию для инвестора в виде годовой ставки сложных процентов(i).
6. 1 Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов.
Текущая доходность, как сказано выше, находится следующим образом:
it=gN/P=g*100/К.
Полная доходность: т. к. доход по купонам является единственным источником текущих поступлений, то полная доходность у рассматриваемых облигаций равна текущей в случае, когда вылаты по купонам ежегодные, но, если проценты выплачиваются р – раз в году(по норме g/р), то из уравнения эффективной ставки i = (1+j/m)m-1, получим:
i = (1+(g/р)*(100/К))р-1=(1+ it/р) р –1
Пример№11:Вечная рента, приносящая 3% дохода, куплена по курсу 85. Какова финансовая эффективность инвестиций, при условии, что проценты выплачиваются раз в году, поквартально(р=4)?