Анализ проектных рисков: процедурные вопросы (стр. 2 из 2)

f >= 0 (1.3);

х >= 0 (1.4).

Требуется максимизировать функцию

z = 400f + 500х (1.5)

при ограничениях (1.1)—(1.4).

Известно, что в случае двух переменных решение задачи математического программирования можно провести не только аналитически (например, используя симплекс-метод), но и графически. В нашем примере интерес представляет только целочисленное решение.

Рассмотрим графический вариант решения модели сконструированной по выражениям (1.1)—(1.5).

Рис. 1.1. Графический вариант решения модели (1.1)—(1.5):

1 — в соответствии с выражением (1.1);

2 — в соответствии с выражением (1.2).

Заменив неравенство (1.1) равенством, построим в декартовой системе координат соответствующую прямую 1 (рис. 1.1).

Она разделит плоскость на две полуплоскости, расположенные над и под прямой. Неравенству (1.1) будут удовлетворять все точки, принадлежащие нижней полуплоскости и самой прямой 1.

Аналогичным образом отразим на графике решения неравенств (1.2) — (1.4).

Допустимое множество решений задачи линейного программирования находится в заштрихованной области и на ее границах.

Функционал (1.5) задачи строится аналогичным образом.

Из всего допустимого множества (согласно теории математического программирования) представляют интерес только точки, расположенные в вершинах заштрихованной области:

А (0; 150); В (100; 100); С (400/3; 0); О (0; 0).

Максимального значения, равного 90 000 ден. ед., функционал (1.5) достигает в вершине В, т.е. максимальный чистый дисконтированный доход, равный 90 000 ден. ед., бизнесмен может получить, если приобретет 100 факсов и 100 ксероксов.

Итак, в качестве функционала нашей модели был рассмотрен некий простейший аналог критерию NPV , а в качестве значений правых частей ограничений модели использовались, вообще говоря, лимиты ресурсов проекта в денежном выражении. Неизвестными в данной задаче являлись стоимостные значения объемов проектных услуг.

На основании теории двойственности в математическом программировании можно построить задачу, двойственную к данной, а полученные при ее решении так называемые двойственные переменные (объективно обусловленные оценки, теневые цены, скрытые цены) позволяют определить альтернативную стоимость используемых в проекте дефицитных ресурсов.

Построим двойственную к нашей задаче.

Пусть p1 — двойственная оценка фондов в первый год;

p2 — двойственная оценка фондов во второй год.

В этих обозначениях, необходимо минимизировать общие альтернативные стоимости совокупного объема фондов в целом за период проекта, то есть минимизировать функцию Z= (40000р1 + 30000р2) при ограничениях:

100р1 + 200р2 >= 400

300р1 + 100р2 >= 500,

экономический смысл которых в том, что продажа всех ресурсов (фондов), затрачиваемых на единицу каждого вида оборудования (факса или ксерокса) по их альтернативной стоимости в сумме не может быть меньше величины чистого дисконтированного дохода от одного факса или ксерокса соответственно. Кроме того, альтернативные стоимости, как реальные экономические величины, не могут иметь отрицательных значений, поэтому

р1 >= 0;

р2 >= 0.

Уже этот простой пример наглядно демонстрирует возможности и преимущества использования методов математического программирования для принятия проектных решений.