Анализ финансовых результатов на примере магазина (стр. 12 из 16)

Проверка качества модели

Качество модели оценивается стандартным для математических моделей образом: по адекватности и точности. Расчетные значения получаются путем подстановки в модель фактических значений всех включенных факторов.

Кроме рассмотренных выше характеристик, целесообразно использовать корреляционное отношение (индекс корреляции), а также характеристики существенности модели в целом и ее коэффициентов.

В качестве характеристики тесноты связи применяется индекс корреляции (I_yx )переменных Y по X.

I_yx = 1- (s_e² / s_y²) , ( 21 )

где s_e² – это дисперсия параметра Х относительно функции регрессии, то есть остаточная дисперсия, которая характеризует влияние на Y прочих неучтенных факторов в модели;

s_y² – полная дисперсия, она измеряет влияние параметра X и Y.

Из этого следует, что 0 £I_yx£ 1. При этом I_yx = 0 означает полное отсутствие корреляционной связи между зависимой переменной Y и объясняющей переменной Х. В то же время максимальное значение индекса корреляции (I_yx = 1) соответствует наличию чисто функциональной связи между переменными X и Y и, следовательно, возможность детерминированного восстановления значений зависимой переменной Y по соответствующим значениям объясняющей переменной X.

Данный коэффициент является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной модели и их линейной зависимости он равен коэффициенту линейной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат, называется коэффициентом детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, то есть определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дисперсии остаточной компоненты , которая определяется по формуле:

n _

S = S² / å (x_i – x) , ( 22 )

i=1

где S² – дисперсия зависимой переменной Y.

n _ n

S² = å (y_i – y_i)² / n-2 = åe_i² / n-2 ( 23 )

i=1 i=1

Квадратный корень из этой величины (S) называется стандартной ошибкой оценки:

n _

S _а1= S² / å (x_i – x) , ( 24 )

i=1

Коэффициент а₁ есть мера наклона линии регрессии. Очевидно, чем больше разброс значенийY вокруг линии регрессии, тем больше в среднем ошибка в определении ее наклона. Кроме того, чем больше число наблюдений n, тем больше сумма å (x_i – x)² и тем, самым меньше стандартная ошибка оценки а₁ .

Проверка значимости модели регрессии осуществляется по F-критерию (критерий Фишера), расчетное значение которого определяется по формуле:

F_p = {Q₁ * (n - m)} / {Q₂ * (m-1)}, ( 25 )

где m – число объясняющих (независимых переменных);

n – число наблюдений;

Q₁ - сумма квадратов, объясняемая регрессией, то есть сумма квадратов отклонений обусловленных влиянием признака Х;

Q₂ – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

По заданному уровню значимостиl и числу степеней свободы k₁ =m-1 и k₂ = n-m по таблице F-распределения находится значение F_табл и сравнивается с расчетным F_p :

если F_p > F_табл, то нулевая гипотеза Н₀ отвергается и уравнение регрессии (модель) считается значимым;

если F_p < F_табл, то нет основания отвергать нулевую гипотезу Н₀.

Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-критерия, значение которого рассчитывается по формуле:

t = r / S_r = r n-2 / 1 – r ²

где r – коэффициента уравнения регрессии;

S_r - среднеквадратическое отклонение r.

При заданном уровне значимости l и числе степеней свободы k= n – m – 1 определяется табличное значение t – критерия и сравнивается с расчетным t_p : - если t_p > t_pасч коэффициент регрессии является значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Оценка влияния отдельных факторов на основе модели.

Коэффициенты регрессии являются именованными числами, выраженными в разных единицах измерения. Поэтому трудно, а иногда невозможно сопоставить факторы Х по степени их влияния на зависимую переменную Y. Для устранения этого недостатка в практике экономического анализа используются следующие коэффициенты:

коэффициент эластичности Э;

бета – коэффициент, b;

дельта – коэффициент, ∆. Коэффициент эластичности имеет вид:Э_i = b_i * x _i / y ( 27 )

гдеb_i – коэффициент модели при i– факторе;х _i – среднее значение i – го фактора;

у – среднее значение зависимой переменной.

Коэффициент эластичности i – фактора Х _i говорит о том, что при отклонении его величины от среднего значения х_i на 1%, и при фиксированных на постоянном уровне значениях других факторов, входящих в уравнение, объясняемая переменная Y отклониться от своего среднего значения y на э _i процентов. Иначе, - изменение значения фактора Х _i на 1% от его средней величины х _i, приводит к изменению значения объясняемой переменной на э _i процентов от ее средней величины.

Бета – коэффициент имеет вид: b _i = b _i * S _i / S_y , ( 28 )

где b _i - коэффициент модели при i- м факторе;

S _i – оценка среднеквадратического отклонения i – го фактора;

S_y - оценка среднеквадратического отклонения зависимой переменной Y.

Бета-коэффициент при факторе X _i определяет меру влияния его вариации на вариацию зависимой переменной Y при фиксированной на одном уровне вариации остальных независимых факторов, входящих в уравнение регрессии.

Указанные коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную .

Дельта-коэффициент имеет вид:

∆_i = r_i b_i / R² , ( 29 )

где b_i – бета-коэффициент i – го фактора Х_i ;

r_i – коэффициент парной корреляции i – го фактора Х_i и зависимой переменной Y;

R² – коэффициент множественной детерминации.

Дельта-коэффициент позволяет оценить долю вклада каждой независимой переменной Х_i в суммарное влияние всех факторов.

При корректно проводимом анализе значения ∆ - коэффициентов положительны, то есть все коэффициенты регрессии имеют тот же знак, что и соответствующие парные коэффициенты корреляции. Но в случаях сильной коррелированности факторов некоторые дельта-коэффициенты могут быть отрицательными вследствие того, что соответствующий коэффициент регрессии имеет знак, противоположный знаку парного коэффициента корреляции.

Прогнозирование на основе модели регрессии.

Регрессионные модели могут быть использованы для прогнозирования возможных ожидаемых значений переменной. При это перенос закономерности связи, измеренной в исследуемой совокупности в статике на динамику, не является корректным и требует проверки условий допустимости такого переноса (экстраполяции).

Ограничением прогнозирование на основании регрессионной модели служит условие стабильности или малой изменчивости других факторов и условий изучаемого процесса, не связанных с ними.

Прогнозируемое значение переменной Yполучается при подстановке в уравнение регрессии: ŷ _n+k = a₀ + a₁ x_n+1

ожидаемой величины фактора Х. Данный прогноз называется точечным. Возникает ограничение при выборе ожидаемой величины Х: нельзя подставлять значения независимой переменной x_n+k , значительно отличающейся от входящих в исследуемою выборку, по которой вычислено уравнение регрессии.

Вероятность реализации точечного прогноза практически равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал с достаточно большой надежностью.

Средняя ошибка линии регрессии в генеральной совокупности при значении фактора x_n+k вычисляется для линии регрессии по формуле:

_ n _

m _Ŷk = St_табл 1 / n + (x_n+k – x ) ² / å (x_i - x ) ² , ( 31 )

i =1

где t_табл - табличное значение t – статистики с уровнем значимости l и степенью свободы (n - 2);

S – стандартная ошибка зависимой переменной.

Границы доверительного интервала вычисляются, соответственно, как:

нижняя граница - U_H^(k) = ŷ _{n + k} – m _{y k} ;

верхняя граница – U_B^(k) = ŷ _{n + k} + m _{ŷ k.}

Средняя ошибка прогноза для индивидуального значения зависимой переменой Y от линии регрессии вычисляется по формуле: