О некоторой общей схеме формирования критериев оптимальности в играх с природой (стр. 2 из 4)
3.1. W(a,r,q) = a;
3.2. W(a,r,q) = (1-q)a;
3.3. W(a,r,q) = a-r;
3.4. W(a,r,q) = (1-q)a-qr.
То, что каждая их этих функций обладает свойствами (4), можно проверить по знаку частных производных.
В критерии 3.1 показателями игры являются выигрыши: Wij=aij, а потому он не учитывает ни рисков, ни вероятностей состояний природы. Критерий 3.1 является критерием Вальда ([1], с. 504; [3], с. 91; [5], с. 56), позволяющим обосновать выбор решения в условиях полной неопределенности, т.е. в условиях незнания вероятностей состояний природы. Критерий 3.2 учитывает выигрыши и вероятности состояний природы, но не учитывает риски. В критерии 3.3 учитываются выигрыши и риски без учета вероятностей состояний природы. И наконец, в критерии 3.4 учитываются выигрыши, риски и вероятности состояний природы.
Минимаксные критерии (крайнего пессимизма).
Для минимаксного критерия функцию игры обозначим через S(a,r,q). Она должна быть невозрастающей по выигрышу а и неубывающей по риску r и по вероятности q состояний природы:
S(a,r,q) Ø по а; Ú по r; Ú по q. (5)
Тогда Sij = S(aij, rij, qj ) – показатели игры. Показатели стратегий определяются следующим образом:
(6)Стратегия
считается оптимальной, если 
. (7)В силу (7) показатели Si являются показателями неоптимальности стратегий Аi.
То, что функция игры S(a, r, q) должна обладать свойствами (5) мотивируется аналогично мотивировке в п. 3 с учетом (6) и (7).
Приведем некоторые минимаксные критерии с конкретными функциями игры S(a,r,q), удовлетворяющими условиям (5):
4.1. S(a,r,q) = r;
4.2. S(a,r,q) = qr;
4.3. S(a,r,q) = r-a;
4.4. S(a,r,q) = qr-(1-q)a.
Критерий 4.1, в котором показатели игры – риски, не учитывает ни выигрышей, ни вероятностей состояний природы. Это есть критерий Сэвиджа ([1], с. 504; [3], с. 92, [5], с. 57).
Сравнивая максиминные и минимаксные критерии, можно высказать следующее.
Утверждение 1. Максиминные критерии 3.3 и 3.4 эквивалентны соответственно минимаксным критериям 4.3 и 4.4:
3.3 Û 4.3, 3.4 Û 4.4.
Первая их этих эквиваленций означает, что стратегия Ai является оптимальной по критерию 3.3 тогда и только тогда, когда она оптимальна по критерию 4.3.
Аналогичное объяснение относится и ко второй эквиваленции.
Доказательство. Докажем сначала эквиваленцию 3.3 Û 4.3. Так как функции игры W и S соответственно критериев 3.3 и 4.3 удовлетворяют равенству S = –W, то и показатели игры удовлетворяют аналогичному равенству Sij = –Wij. Тогда
откуда
.Таким образом, Si будет минимальным для номера i, для которого Wi будет максимальным, и эквиваленция 3.3 Û 4.3 доказана.
Совершенно аналогично доказывается и эквиваленция 3.4 Û 4.4. n
Максимаксные критерии (крайнего оптимизма).
В данном случае функция игры, которую мы обозначим через M(a, r, q), должна не убывать по выигрышу
и по вероятности 
состояний природы и не возрастать по риску 
:M(a, r, q) Ú а; Ø по r; по Ú q. (8)
Показатели игры Mij= M(aij, rij, qj). Показатели оптимальности стратегий
Оптимальной называется стратегия Ai0, для которой
.Максимаксные критерии являются критериями крайнего оптимизма, поскольку предполагают, что природа будет находиться в наиболее благоприятном для игрока А состоянии и потому в качестве оптимальной выбирается стратегия, при которой максимальный показатель игры – показатель оптимальности максимален среди максимальных показателей всех стратегий.
В качестве максимаксных критериев с конкретными функциями игры M(a, r, q), обладающими свойствами (8), можно взять, например, следующие:
5.1. M(a, r, q) = а;
5.2. M(a, r, q) = qa;
5.3. M(a, r, q) = a-r;
5.4. M(a, r, q) =qa-(1-q)r.
В критерии 5.1 показателями игры являются выигрыши Mij = aij, и мы получаем максимаксный критерий относительно выигрышей ([2], с. 42).
Миниминные критерии (крайнего оптимизма).
Функция игры, обозначим ее через E(a, r, q), выбирается невозрастающей по выигрышу а и по вероятности q состояний природы и неубывающей по риску r:
E(a, r, q) Ø по а; Ú по r; Ø по q. (9)
В качестве показателей неоптимальности стратегий Аi берутся
где Eij = E(aij, rij, qi) – показатели игры.
Оптимальной назначается стратегия Ai0, минимизирующая показатель неоптимальности
, т.е. 
Миниминные критерии также являются критериями крайнего оптимизма, поскольку под оптимальной стратегией понимается стратегия, при которой показатель неоптимальности минимален среди показателей неоптимальности всех стратегий.
Примерами миниминных критериев с функциями игры E(a, r, q) со свойствами (9) могут быть:
6.1. E(a, r, q) = r;
6.2. E(a, r, q) = (1–q)r;
6.3. E(a, r, q) = r –a;
6.4. E(a, r, q) = (1–q)r –qa.
Показателями игры в критерии 6.1 являются риски, и он, таким образом, превращается в миниминный критерий относительно рисков.
Утверждение 2. Максимаксные критерии 5.3 и 5.4 эквиваленты соответственно миниминным критерием 6.3 и 6.4:
5.3 Û 6.3, 5.4 Û 6.4.
Доказательство аналогично доказательству утверждения 1, а именно для критериев 5.3 и 6.3 имеем: E = –M и, следовательно, Eij = –Mij, откуда
Поэтому
Таким образом, эквиваленция 5.3 Û 6.3 доказана.
Аналогично доказывается и эквиваленция 5.4 Û 6.4. n
Для лучшей обозримости стрелок, указывающих в (4), (5), (8) и (9) на невозрастание или неубывание функций игры рассмотренных критериев в пп. 3, 4, 5, 6 в зависимости от выигрышей а, рисков r и состояний природы q, сведем их в следующую таблицу.
Таблица 1
| Аргументы | Функции игры и критерии | |||
| функций игры | W(a, r, q) | S(a, r, q) | M(a, r, q) | E(a, r, q) |
| max min | min max | max max | min min | |
| a | Ú | Ø | Ú | Ø |
| r | Ø | Ú | Ø | Ú |
| q | Ø | Ú | Ú | Ø |
Из этой таблицы видно, что стоящие в первой строке стрелки, обозначающие поведение функций игры в зависимости от выигрышей а, соответствуют первому значку в названии критерия: max – Ú , min – Ø , ,max – Ú , min – Ø . А стрелки во второй строке, обозначающие поведение функций игры в зависимости от рисков r , противоположны стрелкам первой строки.
Критерии максимизации взвешенного среднего показателя оптимальности стратегий.
Функция игры L(a, r, q) должна неубывать по выигрышу a и невозрастать по риску r :
L(a, r, q) Ú по а; Ø по r. (10)
Показатели оптимальности стратегий Ai0 определяются следующим образом:
(11)где Lij = L(aij, rij, qj) – показатели игры.
По определению оптимальной является стратегия Ai0, максимизирующая показатель оптимальности Li:
В качестве функций игры L(a, r, q), удовлетворяющих условиям (10), можно взять функции:
7.1. L(a, r, q) = qa;
7.2. L(a, r, q) = q(a-r).
Если в критерии 7.1 q1 = ... qn =
, то показатели игры принимают вид 
а показатели оптимальности стратегий Ai превращаются (см. (11)) в среднее арифметическое выигрышей при стратегии Ai:
Такой критерий был предложен Байесом ([2], с. 119; см. также сноску на с. 2). Этот критерий также называют ([1], c. 503) "критерием недостаточного основания" Лапласа (т.е. у нас нет достаточного основания отдать предпочтение какому-нибудь состоянию природы).
Если в критерии 7.1 вероятности состояний природы q1, …, qn различны, то показатели игры
а показатели оптимальности стратегий Ai будут представлять собой взвешенное среднее выигрышей при стратегии Ai, взятых с весами q1, …, qn:
Получившийся критерий называют критерием Лапласа ([2], c. 119.).
Критерии минимизации взвешенного среднего показателя неоптимальности стратегий.
Для данного критерия функция игры K(a, r, q) невозрастает по выигрышу а и неубывает по риску r:
K(a, r, q) Ø по а; Ú по r, (12)
показатели игры Kij= K(aij, rij, qj), показатели неоптимальности стратегий Ai
.Оптимальной считается стратегия Ai0, минимизирующая показатель неоптимальности Ki:
Примерами таких критериев с функциями игры K(a, r, q), удовлетворяющими условиям (12), могут служить критерии:
8.1. K(a, r, q) = qr;
8.2. K(a, r, q) = q(r-a).
В критерии 8.1 показатели неоптимальности стратегии Ai представляют собой взвешенное среднее рисков при стратегии Ai с весами q1, …, qn, и критерий 8.1, таким образом, является критерием минимизации взвешенного среднего риска.