Расчёт параметров вытеснения одной жидкости другой (стр. 2 из 4)
(2.1)(2.2)
При этом изобарами являются линии, параллельные галерее, и каждую изобару можно рассматривать как контур питания или как галерею. На основании формул (2.1) и (2.2) распределение давления и скорость фильтрации в водоносной области можно записать в виде
(2.3) 
(2.4)Приняв за контур питания изобару, совпадающую с границей раздела жидкостей, распределение давления и скорость фильтрации в нефтеносной области можно записать следующим образом:
(2.5)
 |
(2.6)
Найдем давление p(t) на границе раздела. Вследствие несжимаемости жидкостей и неразрывности потока линии тока будут иметь вид прямых, параллельных оси Ох (на границе раздела преломления их не будет), а скорость фильтрации во всех точках пласта будет одинаковой, т.е. wв = wн
Тогда из уравнений (2.6) и (2.8) получим:
Рисунок 2 — схема прямолинейно-параллельного движения границы раздела «вода-нефть»
откуда давление на границе раздела жидкостей будет равно:
(2.9)
где введено обозначение η0 = ηн/η0 отношение вязкостей жидкостей.
Определим теперь следующие характеристики фильтрационного потока нефти и воды:
1. Распределение давления в водоносной и нефтеносной областях. Для этого подставим (2.9) в (2.5) и (2.7):
(2.10)(2.11)
где ∆p = рк - рг депрессия на пласт.
2. Скорость фильтрации. Подставив (2.9) в (2.6) и (2.8), получим:
(2.12)3. Расход жидкости (дебит галереи) Q получается из (2.12) умножением на площадь сечения потока Bh.
4. Градиент давления. Продифференцируем (2.10) и (2.11) по х:
(2.13) 
(2.14)5. Закон движения границы раздела xf = xf(t) находим из соотношения скорости фильтрации и средней скорости движения:
откуда, использовав (2.12), разделив переменные и проинтегрировав в пределах от 0 до t и от х0 до xf, получим:
(2.15)Для того, чтобы найти время полного вытеснения нефти, нужно в формуле (2.15) положить xf = L. Тогда получим:
В частности, если в начальный момент времени пласт был полностью насыщен нефтью (x0=0), то отсюда находим:
Для определения зависимости координаты границы раздела xf от времени t решим квадратное уравнение (2.15) относительно xf:
(2.16)Подставив это значение хf в формулу (2.12), найдем закон изменения во времени скорости фильтрации (а значит, и дебита галереи):
(2.17)Проанализируем полученные характеристики потока:
1. Из уравнений (2.10) и (2.11) видно, что давление в пласте зависит не только от координаты х, но и от положения границы раздела xf, а следовательно, от времени. Но xf, как следует из формулы (2.16), со временем увеличивается, следовательно, пластовое давление во времени в водоносной области падает, а в нефтеносной растет. На рисунке 3 приведены кривые распределения давления в пласте в начальный момент вытеснения, когда Гранина раздела занимает положение х0, и некоторое время t спустя, когда граница раздела продвинулась до положения xf. Из рисунка видно, что пьезометрическая линия на границе раздела имеет излом.
2. Скорость фильтрации w (2.17) и расход жидкости Q также изменяются во времени. Следовательно, несмотря на постоянство депрессии ∆p=pk-pг движение жидкостей в пласте будет неустановившимся.
При
как видно из (2.17), скорость фильтрации и дебит галереи увеличиваются с течением времени, т. е. по мере продвижения контура нефтеносности.Это легко объяснимо и из физических соображений. Движение жидкостей в пласте происходит под действием постоянного перепада давления Ар. Сопротивление, оказываемое обеими жидкостями, зависит от размеров их областей. С течением времени увеличивается область водоносности, сопротивление которой по сравнению с областью нефтеносности тех же размеров значительно меньше. Следовательно, общее сопротивление обеих областей во времени уменьшается, что при постоянной депрессии Ар ведет к росту скорости фильтрации и дебита галереи.
3. Градиенты давления в водоносной и нефтеносной областях, как это следует из формул (2.13) и (2.14) с учетом формулы (2.16). во времени растут. Это же показано и на рисунке 3. В нефтеносной области градиент давления больше, чем в водоносной, во столько раз, во сколько вязкость нефти больше вязкости воды.
Рисунок 3 — кривые распределения давления в пласте при вытеснении нефти водой
Рисунок 4 — изменение давления на границе раздела жидкостей (рк = 20 МПа. Pг = 10 МПа)
Рисунок 5 — схема использования метода «полосок»
4. Кривая падения давления pf на границе раздела в зависимости от ее безразмерных значений
при различных отношениях вязкостей 
приведены на рис. 7.4. Расчеты проводились по формуле (7.9) при давлении на контуре питания pк = 20 МПа и на галерее — pг = 10 МПа.В случае, если первоначальное положение водонефтяного контакта АВ в пласте не параллельно галерее (рис. 7.5), то решить задачу можно приближенно, используя, например, метод «полосок», предложенный В. Н. Щелкачевым. В потоке выделяются узкие полоски, в пределах каждой из которых водонефтяной контакт считается параллельным галерее, и движение в каждой полоске описывается выведенными в этом параграфе формулами. При этом, как видно из формулы (7.17), чем больше значение x0 тем больше скорость фильтрации w. Отсюда вытекает, что граница раздела в точке В будет двигаться гораздо быстрее, чем в точке А, и обводнение галереи начнется именно по линии ВВ', в то время как контур нефтеносности по другим линиям будет еще значительно удален от галереи. Из этого примера следует важное заключение о характере продвижения контура нефтеносности. Если на границе раздела вода нефть при разработке нефтяной залежи образовался «водяной язык», то он в дальнейшем не только не исчезает, а быстро вытягивается, продвигаясь с большей скоростью, чем остальная часть водонефтяного контакта.
Физические представления и математическое описание процесса вытеснения одной жидкости другой
Рассмотрим процесс вытеснения, происходящий в прямолинейном тонком горизонтальном образце (рисунок 6), представленном однородной и изотропной пористой средой, т.е. его пористость m и проницаемость k постоянны. Координата х отсчитывается вдоль образца, направление течения-горизонтальное. Поперечное сечение образца (площадь сечения обозначим w) предположим достаточно малым, так что давление и насыщенность можно считать постоянными по сечениям. Давление р в водяной и нефтяной фазах считаем одинаковым в силу пренебрежения капиллярным давлением, обе фазы несжимаемы, температура постоянна.
В рассматриваемый образец, первоначально заполненный нефтью, через сечение х=0 закачивается вода. В процессе вытеснения образуется зона совместного движения воды и нефти. При совместном течении двух фаз в пористой среде по крайней мере одна из них образует связную систему, граничащую со скелетом породы и частично с другой жидкостью.
Рисунок 6 — схема прямолинейно-параллельного вытеснения нефти водой
Из-за избирательного смачивания твердой породы водой площадь контакта каждой из фаз со скелетом пористой среды значительно превышает площадь контакта фаз между собой. Это позволяет считать, что основной вклад в сопротивление движению дает взаимодействие каждого флюида с твердым скелетом пласта, и в первом приближении пренебречь эффектом увлечения одной жидкостью другой. При этом, естественно, сопротивление, испытываемое каждой фазой при совместной фильтрации, отлично от того, которое было бы при течении только одной из них. Опыты показывают, что расход каждой фазы растет с увеличением насыщенности и градиента давления.