Средневзвешенная продолжительность платежей (дюрация) (стр. 2 из 2)
Разделив на Р, получим количественное измерение степени крутизны (выпуклости) кривой "цена-доходность":
.Из приведенных формул следует, что выпуклость прямо зависит от срока погашения Т и дюрации соответственно. Можно также показать, что выпуклость является возрастающей функцией от последней. В целом, свойства выпуклости по отношению к Т и k аналогичны свойствам дюрации.
Вместе с тем, выпуклость связана положительной зависимостью с изменениями процентных ставок (доходности к погашению). Объяснение этого свойства следует из того факта, что выпуклость можно определить как разность между фактической ценой облигации и ее ценой, определенной с использованием модифицированной дюрации.
Совместное использование дюрации D и выпуклости V при анализе ценных бумаг с фиксированным доходом позволяет существенно повысить точность оценки изменений их стоимости. Вместе с тем, их совместное использование требует соответствующей формализации.
Один из подходов к решению данной проблемы базируется на аппроксимации изменения цены облигации ¶ P с помощью рядов Тейлора. При этом, степенной ряд будет иметь следующий вид:
.Ограничимся рассмотрением первых двух элементов ряда. Разделив обе части на Р, имеем:
.Первое слагаемое теперь является дюрацией D, а второе – выпуклостью V, умноженной на константу. С учетом вышеизложенного, более эффективную формулу для определения будущей цены облигации в зависимости от изменений доходности можно задать в следующем виде:
,где Р – будущая цена при условии, что доходность изменится на величину ¶ (YTM); Р0 – текущая цена; D – дюрация; V – выпуклость.
Результаты сравнительного анализа точности прогнозирования будущей цены 15-летней ОВВЗ седьмого транша с годовым купоном 3% при требуемой норме доходности 9% в зависимости от изменений доходности к погашению с использованием дюрации и полученной модели приведен в таблице 2.3а.
Таблица 2.3а
Сравнительный анализ точности прогноза цены ОВВЗ
| ¶ YTM | YTM | Реальная цена (P) | Прогноз цены (модель с D ) | Прогноз цены (модель с D и V ) | ||
| P | Отклон. | Р | Отклон. | |||
| -0,04 | 0,05 | 79,24068 | 72,46125 | 6,779 | 77,95719 | 1,2835 |
| -0,03 | 0,06 | 70,86325 | 67,25594 | 3,607 | 70,3474 | 0,5158 |
| -0,02 | 0,07 | 63,56834 | 62,05062 | 1,518 | 63,42461 | 0,1437 |
| -0,01 | 0,08 | 57,20261 | 56,84531 | 0,357 | 57,18881 | 0,0138 |
| 0 | 0,09 | 51,64 | 51,64 | 0,000 | 51,64 | 0,0000 |
| 0,01 | 0,10 | 46,75744 | 46,43469 | 0,323 | 46,77818 | 0,0207 |
| 0,02 | 0,11 | 42,47304 | 41,22938 | 1,244 | 42,60336 | 0,1303 |
| 0,03 | 0,12 | 38,70222 | 36,02406 | 2,678 | 39,11553 | 0,4133 |
| 0,04 | 0,13 | 35,37621 | 30,81875 | 4,557 | 36,31469 | 0,9385 |
Отметим, что добавлением в полученную модель элементов ряда Тейлора более высоких порядков можно добиться еще большей точности прогноза, вместе с тем, их доля в общем изменении стоимости достаточно мала.
Проведенные исследования свойств количественных характеристик облигаций являются теоретической базой для разработки моделей управления портфелями ценных бумаг с фиксированным доходом.